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1. (2024·南山模拟) 已知：如图，在四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，点Q从点M出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点H，交 $\text{[math]}$ 于点G．设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

解答下列问题：
1. （1）当 $\text{[math]}$ 为何值时，点M在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？
3. （2）连接PQ，作 $\text{[math]}$ 于点N，当四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，求t的值；
5. （3）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t的函数关系式；
7. （4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在 $\text{[math]}$ 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·福田模拟) 【基本模型】（1）如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，则 $\text{[math]}$ 的值是__________．
【类比探究】（2）如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
【拓展应用】（3）如图3，矩形 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，若点G把线段 $\text{[math]}$ 分成 $\text{[math]}$ 的两部分，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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1. (2024九下·福田模拟) 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 $\text{[math]}$ 米的旗杆 $\text{[math]}$ ，从办公楼顶端 $\text{[math]}$ 测得旗杆顶端 $\text{[math]}$ 的俯角 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ，旗杆底端 $\text{[math]}$ 到大楼前梯坎底边的距离 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 米，梯坎坡长 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 米，梯坎坡度 $\text{[math]}$ ，则大楼 $\text{[math]}$ 的高度约为（）（精确到 $\text{[math]}$ 米，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·曾都模拟) 如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为 $\text{[math]}$ ，测得C点的俯角 $\text{[math]}$ ，则建筑物 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的高度之比为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·高坪模拟) 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；②若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外心，则 $\text{[math]}$ ；③若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，则 $\text{[math]}$ ；④若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论是（填序号）．

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1. (2024九下·厦门模拟) 综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点 $\text{[math]}$ 为墙壁上的固定点，摇臂 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中长度保持不变，遮阳棚 $\text{[math]}$ 可自由伸缩，棚面始终保持平整． $\text{[math]}$ 米．

素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角 $\text{[math]}$ 的正切值：
时刻（时）
12
13
14
15
角 $\text{[math]}$ 的正切值
5
2.5
1.25
1
【问题解决】
1. （1）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，这天12时在点 $\text{[math]}$ 位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
3. （2）如图3，旋转摇臂 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时 $\text{[math]}$ 时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
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1. (2024九下·厦门模拟) 根据以下素材，探索完成任务．

探究遮阳伞下的影子长度

素材1

（1）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 $\text{[math]}$ ，图2是其侧面示意图．

（2）已知支架 $\text{[math]}$ 长为2.5米，且垂直于地面 $\text{[math]}$ ，悬托架 $\text{[math]}$ 米，点 $\text{[math]}$ 固定在伞面上，且伞面直径 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的4倍．当伞面完全张开时，点 $\text{[math]}$ 始终共线．

（3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 移动，以保证太阳光线与 $\text{[math]}$ 始终垂直．

素材2

某地区某天下午不同时间的太阳高度角 $\text{[math]}$ （太阳光线与地面的夹角）参照表：

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1. (2024·南山模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 正方形网格中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为网格交点， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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1. (2024·怀集模拟) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O；
1. （1）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
3. （2）若AC＝4，BD＝2，求cos∠BCE的值．
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1. (2024·宝安模拟) “圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米，测得某地夏至正午时“表”的影长 $\text{[math]}$ 米，冬至时的正午太阳高度角 $\text{[math]}$ ，则夏至到冬至，影长差 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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