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1. (2024·河北模拟) 图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段 $\text{[math]}$ 是一段直滑道，点A在y轴上，且 $\text{[math]}$ ．滑道 $\text{[math]}$ 为抛物线： $\text{[math]}$ 的一部分，在点 $\text{[math]}$ 处达到最低，点B ， D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2， $\text{[math]}$ 轴于点G ．滑道 $\text{[math]}$ 与滑道 $\text{[math]}$ 可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
3. （2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；
5. （3）点M为 $\text{[math]}$ 上的一点，求点M到 $\text{[math]}$ 和到x轴的距离之和（图中 $\text{[math]}$ ）的最大值及此时点M的坐标．
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1. (2024九下·昆明开学考) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B ，与y轴交于点C ．二次函数y＝ax²+2x+c的图象过B ， C两点，且与x轴交于另一点A ，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O ， B重合）．
1. （1）求二次函数的表达式；
3. （2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F ，交二次函数y＝ax²+2x+c的图象于点E ，记△CEF的面积为 $\text{[math]}$ ， △BMF的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点E的坐标；
5. （3）如图②，连接CM ，过点M作CM的垂线l₁ ，过点B作BC的垂线l₂ ， l₁与l₂交于点G ，试探究 $\text{[math]}$ 的值是否为定值？若是，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不是，请说明理由．
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1. (2024·老河口模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C ，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m ．
1. （1）直接写出b ， c的值；
3. （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l ，点D为直线l上一动点，若点P在直线l左侧的抛物线上，当PD⊥AD ， PD＝AD时，求m的值；
5. （3）直线OP与直线AC相交于点M ， $\text{[math]}$ 的值记为d ．
  ①求d关于m的函数解析式；
  ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
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1. (2024九下·随州模拟) 如图，抛物线y=ax²+bx+c（0＜a＜3）与x轴交于A（-1，0）．B两点，与y轴交于点C，直线y=-3x+m经过A，C两点．
1. （1）直接写出直线的解析式和C点坐标；
3. （2）点P是线段AC上的一个动点．过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q．如果a=1，PQ=3．求点P的坐标；
5. （3）设点D是抛物线对称轴上一点．若∠ADC=45°，问满足这种情况的点D的个数是多少？试根据a的取值范围进行讨论．
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1. (2024九下·花溪月考) 下列关于二次函数y=3（x+1）（2-x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）

A . 点（0，2）在函数图象上 B . 开口方向向上 C . 对称轴是直线x=1 D . 与直线y=3x有两个交点

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1. (2024九下·花溪月考) 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点 A（-3，0）和点B（1，0），顶点为D.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为（-2，-3）.
1. （1）求抛物线和直线l的函数表达式.
3. （2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.
  ①当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形；
  ②设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
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1. (2024·长沙模拟) 已知四个实数 $\text{[math]}$ ，规定新运算： $\text{[math]}$ ；若一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
1. （1）下列关于 $\text{[math]}$ 的二次函数是否与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”；
  ① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）．
3. （2）已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不重合），若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
5. （3）已知二次函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”，并且二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，记抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，是否存在四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形？若存在，求此时顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·梅县区模拟) 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C ．
1. （1）求这个抛物线的函数解析式；
3. （2）求直线AC的函数解析式；
5. （3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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1. (2024·德阳模拟) 学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4（a＞0）．
1. （1）如图1，将抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A^'恰好在x轴上，求抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4的对称轴及a的值；
3. （2）如图2，抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞2）交于P ， C两点，与图象“G”交于点D ．
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求证：PC＝CD；
  ②当a≠1时，请用合适的式子表示 $\text{[math]}$ （直接写结果）．
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1. (2024九下·长春月考) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （b为常数）经过点 $\text{[math]}$ ，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点B ，点C为抛物线对称轴上一点，且 $\text{[math]}$ 轴，连结BC ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，y的取值范围是；
5. （3） A、B两点之间的距离为d ，当 $\text{[math]}$ 时，求m的值；
7. （4）已知点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，当直线AP将 $\text{[math]}$ 的面积分成 $\text{[math]}$ 两部分且 $\text{[math]}$ 时，直接写出m的值．
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