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1. (2024九下·西安模拟) （1）问题提出：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线． $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为______；
（2）问题探究：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内部一点，且满足 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求 $\text{[math]}$ 的长；
（3）问题解决：如图 $\text{[math]}$ ，这是某学校为艺术节设计的矩形活动区域 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，其中表演舞台设计在 $\text{[math]}$ 处，观众席在 $\text{[math]}$ 上方，摄影师在点 $\text{[math]}$ 处．为了方便摄影师录像，需要满足 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 处设置休息处，表演结束后从点 $\text{[math]}$ 处离开．现需要修建小路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知修建小路的费用为每米 $\text{[math]}$ 元，求修建小路的最少费用．（结果取整数，参考数据： $\text{[math]}$ ）

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1. (2024九下·西安模拟) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是等边三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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1. (2024九下·西安模拟) 战至终章，逐梦不止．第19届杭州亚运会的会徽，名为“潮涌”，它象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点C可看做是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．（结果保留根号）

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1. (2024九下·枣阳模拟) 如图，将一张正方形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，折痕为 $\text{[math]}$ ，折叠后，点B的对应点落在正方形内部的点F处，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点G．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2024九下·东莞模拟) 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S_△_FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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1. (2024九下·济南模拟) 如图，平面内的两条直线l₁、l₂ ，点A、B在直线l₂上，过点A、B两点分别作直线l₁的垂线，垂足分别为A₁、B₁ ，我们把线段A₁B₁叫做线段AB在直线l₂上的正投影，其长度可记作T_（_AB_，_CD_）或T_（_AB_，_l₂_），特别地，线段AC在直线l₂上的正投影就是线段A₁C，请依据上述定义解决如下问题.
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T_（_AC_，_AB_）=3，则T_（_BC_，_AB_）= ；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T_（_AC_，_AB_）=4，T_（_BC_，_AB_）=9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T_（_AD_，_AC_）=2，T_（_BC_，_AB_）=6，求T_（_BC_，_CD_）.

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1. (2024九下·济南模拟) 如果一个等腰三角形的顶角为 $\text{[math]}$ ，那么可求其底边与腰之比等于 $\text{[math]}$ ，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 看作第一个黄金三角形；作 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ 看作第二个黄金三角形；作 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·济南模拟) 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与 $\text{[math]}$ 相似的是（）

A . B . C . D .

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1. (2024八下·北京市期中) 《九章算术》第九章“勾股”问题十九：“今有邑方（正方形小城）不知大小，各开中门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问：邑方几何（小城的边长）？”根据描述如图所示，其中E表示西门，F表示北门，G处是木（E，F分别是所在边的中点）．则邑的边长为步．

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1. (2024八下·北京市期中) 如图，已知双曲线 $\text{[math]}$ 与正比例函数 $\text{[math]}$ 交于A、C两点，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，再以 $\text{[math]}$ 为斜边作直角三角形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 轴，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的周长比 $\text{[math]}$ 的周长多4，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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