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1. (2024九下·德宏模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求这条抛物线的解析式；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在（1）中的抛物线上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·安源模拟)
如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．
1. （1）求该抛物线的解析式；
3. （2）连接PB、PC，求△PBC的面积；
5. （3）连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·富顺模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接AC、BC．
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）将 $\text{[math]}$ 沿AC所在直线折叠，得到 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
5. （3）点P是抛物线上的一动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标．
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1. (2024九下·成都模拟) 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴上一点，且抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的交点坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
3. （2）设点 $\text{[math]}$ 在对称轴右侧的抛物线上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，若 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角顶点的直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线上的两个动点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 总成立？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·江汉模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 点的坐标；
3. （2）如图（1），点 $\text{[math]}$ 是第四象限抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 点的坐标；
5. （3）如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平移后抛物线上两点，且 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 最大时， $\text{[math]}$ 点的坐标．
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1. (2024九下·江汉模拟) 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．现以点M为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（ $\text{[math]}$ ）表示球与点M之间的水平距离，y（ $\text{[math]}$ ）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为 $\text{[math]}$ ；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球， $\text{[math]}$ 段抛物线可以看作是由 $\text{[math]}$ 段抛物线向左平移得到．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求b的值；
  ②求点A，B之间的距离；
3. （2）已知 $\text{[math]}$ 段抛物线的最大高度为 $\text{[math]}$ ，且它的形状与 $\text{[math]}$ 段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
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1. (2024九下·合肥模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点A，与y轴交于点C，作直线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a的值．
3. （2）若P为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的动点，作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点H，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为G．把直线 $\text{[math]}$ 向下平移n个单位与图像G有且只有三个交点，请直接写出此时n的值．
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1. (2024九下·东莞模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 及抛物线的表达式；
3. （2）在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
5. （3）以点 $\text{[math]}$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一个动点，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．
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1. (2024九下·九龙坡模拟) 平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
3. （2）如图1，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值以及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）如图2，将原抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移2个单位得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，在新抛物线 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之比为 $\text{[math]}$ ，请直接写出满足条件的所有点 $\text{[math]}$ 的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程．
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1. (2024九下·重庆市模拟) 已知如图1，抛物线： $\text{[math]}$ 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中 $\text{[math]}$ ．点D为y轴上一点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）点P为位于 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一点，过P作y轴平行线交 $\text{[math]}$ 于点E，再过点E作直线 $\text{[math]}$ 的垂线交其于点F，求 $\text{[math]}$ 的最大值，并求此时点P的坐标；
5. （3）将抛物线沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'上一点，当 $\text{[math]}$ 时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M横坐标的其中一种情况的过程．
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