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1. (2024九下·罗湖模拟) 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．现以点M为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（ $\text{[math]}$ ）表示球与点M之间的水平距离，y（ $\text{[math]}$ ）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为 $\text{[math]}$ ；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球， $\text{[math]}$ 段抛物线可以看作是由 $\text{[math]}$ 段抛物线向左平移得到．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求b的值；
  ②求点A，B之间的距离；
3. （2）已知 $\text{[math]}$ 段抛物线的最大高度为 $\text{[math]}$ ，且它的形状与 $\text{[math]}$ 段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
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1. (2024九下·江汉模拟) 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．现以点M为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（ $\text{[math]}$ ）表示球与点M之间的水平距离，y（ $\text{[math]}$ ）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为 $\text{[math]}$ ；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球， $\text{[math]}$ 段抛物线可以看作是由 $\text{[math]}$ 段抛物线向左平移得到．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求b的值；
  ②求点A，B之间的距离；
3. （2）已知 $\text{[math]}$ 段抛物线的最大高度为 $\text{[math]}$ ，且它的形状与 $\text{[math]}$ 段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
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1. (2024九下·信都模拟) 如图，在平面直角坐标系中，从原点 $\text{[math]}$ 的正上方8个单位 $\text{[math]}$ 处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形 $\text{[math]}$ 的平台 $\text{[math]}$ 上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度 $\text{[math]}$ 与飞行的水平距离 $\text{[math]}$ 满足关系式 $\text{[math]}$ ．其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
5. （3）若落在平台 $\text{[math]}$ 上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与 $\text{[math]}$ 形状相同的拋物线 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 轴有两个点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从点 $\text{[math]}$ 向上作 $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ ．若沿抛物线 $\text{[math]}$ 下落的小球能落在边 $\text{[math]}$ （包括端点）上，求抛物线 $\text{[math]}$ 最高点纵坐标差的最大值是多少？
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1. (2024九下·青岛模拟) 【发现问题】
小明和小强做弹球游戏，如图 $\text{[math]}$ ，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为 $\text{[math]}$ 的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．
【提出问题】
小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？
【分析问题】
小强以斜坡底端 $\text{[math]}$ 为坐标原点，地面水平线为 $\text{[math]}$ 轴，取单位长度为 $\text{[math]}$ ，建立如图 $\text{[math]}$ 所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，第一次弹起的运行路线最高点坐标为 $\text{[math]}$ ，第二次弹起的最大高度为 $\text{[math]}$ ，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．
【解决问题】
1. （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
3. （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离；
5. （3）小强将木板立在距斜坡底端 $\text{[math]}$ 多远的范围内，才能确保自己获胜？
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1. (2024九下·罗湖模拟) 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位： $\text{[math]}$ ），乒乓球运行的水平距离记为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）．测得如下数据：
水平距离 $\text{[math]}$ / $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
竖直高度 $\text{[math]}$ / $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
1. （1） ①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 $\text{[math]}$ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 $\text{[math]}$ ；
  ②求满足条件的抛物线解析式；
3. （2）技术分析：如果只上下调整击球高度 $\text{[math]}$ ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 $\text{[math]}$ 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，球网高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 $\text{[math]}$ 的值约为 $\text{[math]}$ ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 $\text{[math]}$ 处时，击球高度的 $\text{[math]}$ 值（乒乓球大小忽略不计）．
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1. (2024·路桥二模) 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．现以点M为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（ $\text{[math]}$ ）表示球与点M之间的水平距离，y（ $\text{[math]}$ ）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为 $\text{[math]}$ ；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球， $\text{[math]}$ 段抛物线可以看作是由 $\text{[math]}$ 段抛物线向左平移得到．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求b的值；
  ②求点A ， B之间的距离；
3. （2）已知 $\text{[math]}$ 段抛物线的最大高度为 $\text{[math]}$ ，且它的形状与 $\text{[math]}$ 段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
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1. (2024九下·阜阳模拟) 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式 $\text{[math]}$ ．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（）

A . 球运行的最大高度是2.43m B . 球不会过球网 C . 球会过球网且不会出界 D . 球会过球网且会出界

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1. (2024九下·卧龙模拟) 在坡度为 $\text{[math]}$ 的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点 $\text{[math]}$ 在斜坡上， $\text{[math]}$ ，从点 $\text{[math]}$ 向右发射出的小球沿抛物线 $\text{[math]}$ 运动，解决下列问题．
1. （1）点 $\text{[math]}$ 的坐标是__________；
3. （2） ①求 $\text{[math]}$ 所满足的数量关系；
  ②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式．
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1. (2024九下·永寿模拟) 运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与水平距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）近似地满足函数关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）．该函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ，下列说法错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 该铅球飞行到最高点时铅球离 $\text{[math]}$ 轴的水平距离是 $\text{[math]}$ C . 铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 $\text{[math]}$ D . 此次训练，该铅球落地点离 $\text{[math]}$ 轴的距离小于 $\text{[math]}$

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1. (2024九下·石家庄模拟) 【发现问题】
小明和小强做弹球游戏，如图 $\text{[math]}$ ，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为 $\text{[math]}$ 的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．
【提出问题】
小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？
【分析问题】
小强以斜坡底端 $\text{[math]}$ 为坐标原点，地面水平线为 $\text{[math]}$ 轴，取单位长度为 $\text{[math]}$ ，建立如图 $\text{[math]}$ 所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，第一次弹起的运行路线最高点坐标为 $\text{[math]}$ ，第二次弹起的最大高度为 $\text{[math]}$ ，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．
【解决问题】
1. （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
3. （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离；
5. （3）小强将木板立在距斜坡底端 $\text{[math]}$ 多远的范围内，才能确保自己获胜？
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