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1. (2023高二下·宝山期末) 已知空间直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离相等，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹是（）

A . 直线 B . 椭圆 C . 双曲线 D . 抛物线

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1. (2023高二下·静安期末) 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线 $\text{[math]}$ 的对称性和所在的范围为.

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1. (2023高二下·深圳期中) 数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素 $\text{[math]}$ 如我们熟悉的 $\text{[math]}$ 符号，我们把形状类似 $\text{[math]}$ 的曲线称为“ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，把到定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 距离之积等于 $\text{[math]}$ 的点的轨迹称为“ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 已知点 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 上一点，下列说法中正确的有（）

A . “ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 关于原点 $\text{[math]}$ 中心对称 B . $\text{[math]}$ C . “ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 上满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 有两个 D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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1. (2023高三下·吉林) 设 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为圆心）， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作线段 $\text{[math]}$ 的垂线与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动时，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 当点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上时，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 无公共点

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1. (2023高二下·杭州) 已知曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，及直线 $\text{[math]}$ ，下列说法中正确的是（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线与曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线平行 B . 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 仅有一个公共点，则 $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有且仅有一个公共点 D . 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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1. (2023·嵊州模拟) 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究士星及其卫星的远行规律时发现的.在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，设 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 两点的距离之积为2的点的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 曲线关于原点对称 C . 曲线围成的面积不大于7 D . 曲线C上任意两点之间的距离不大于3

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1. (2023高三下·杭州模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . 曲线 $\text{[math]}$ 上恰有四个整点（横坐标与纵坐标均为整数） C . 曲线 $\text{[math]}$ 上的点到原点距离的最大值为 $\text{[math]}$ D . 曲线 $\text{[math]}$ 上存在点在圆 $\text{[math]}$ 的内部

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1. (2023·佛山模拟) 已知方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程；    乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程；    丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（    ）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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1. (2023·白山模拟) 古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类对数学的对称问题一直在思考和探索，图形中对称性的本质就是点的对称、线的对称.如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优美函数”的说法中正确的有（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 可以是某个正方形的“优美函数” B . 函数 $\text{[math]}$ 只能是边长不超过 $\text{[math]}$ 的正方形的“优美函数” C . 函数 $\text{[math]}$ 可以是无数个正方形的“优美函数” D . 若函数 $\text{[math]}$ 是“优美函数”，则 $\text{[math]}$ 的图象一定是中心对称图形

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1. (2023·梅州模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）过点 $\text{[math]}$ 作动直线 $\text{[math]}$ ，与双曲线的左、右支分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取异于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 恒在一条定直线上．
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