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1. (2024九下·枣阳模拟) 如图，已知经过点 $\text{[math]}$ 的拋物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）请直接写出 $\text{[math]}$ 的值，并求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线的对称轴上一点，连接 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交抛物线于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；．
5. （3）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上在 $\text{[math]}$ 轴右侧的一个动点，其横坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到抛物线对称轴和直线 $\text{[math]}$ 的距离分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
  ①求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式：
  ②当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024九下·枣阳模拟) 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ （m为任意实数）

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1. (2024九下·济南模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式．
3. （2）点P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点Q，交线段 $\text{[math]}$ 于点E，点F是直线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长最大值．
5. （3）如图2，已知 $\text{[math]}$ ，将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线 $\text{[math]}$ 交于点N，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出抛物线的平移距离d的值．
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1. (2024九下·济南模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，有下列5个结论：（1） $\text{[math]}$ ；（2） $\text{[math]}$ ；（3） $\text{[math]}$ ；（4） $\text{[math]}$ ；（5） $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 的实数）；其中正确的结论有( )

A . 5个 B . 4个 C . 3个 D . 2个

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1. (2024九下·福州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求抛物线的顶点坐标（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
3. （2）已知该抛物线过点 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有最大值．
  ①求该抛物线的解析式；
  ②若过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最小，并求出面积的最小值．
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1. (2024九下·东莞模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
1. （1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
3. （2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作 $\text{[math]}$ 轴，交AC于点N，过N作 $\text{[math]}$ 交x轴于点D，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点M的坐标；
5. （3）如图2，在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，将抛物线 $\text{[math]}$ 沿射线AC方向平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作 $\text{[math]}$ 轴交射线MK于点Q，连接PK，当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
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1. (2024九下·道外模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
1. （1）求点A、B坐标；
3. （2）点D为第一象限抛物线上一点，过点D作x轴的平行线交 $\text{[math]}$ 于点F，设点D横坐标为t， $\text{[math]}$ 的长为d，则d与t之间的函数解析式为________；
5. （3）在（2）的条件下，点E在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点H在第二象限， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，探究直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系．
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1. (2024九下·道外模拟) 将抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移1个单位再向下平移2个单位后，得到的解析式为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·南山模拟) 【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约 $\text{[math]}$ 的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．

（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，喷射角 $\text{[math]}$ ，地面有效保护直径 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，喷嘴O距离地面的高度 $\text{[math]}$ 为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形 $\text{[math]}$ ，创新小组以点O为坐标原点，墙面 $\text{[math]}$ 所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，水喷射到墙面D处，且 $\text{[math]}$ 米．

①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径 $\text{[math]}$ 为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度 $\text{[math]}$ 为7米，电动车电池的离地高度为 $\text{[math]}$ 米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线 $\text{[math]}$ 上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．

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1. (2024九下·湖南模拟) 若关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）时，函数 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值之差恰为 $\text{[math]}$ ，我们称函数 $\text{[math]}$ 是在 $\text{[math]}$ 上的“和谐函数”．
1. （1）在下列关于 $\text{[math]}$ 的函数中，是在 $\text{[math]}$ 上的“和谐函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是在 $\text{[math]}$ 上的“和谐函数”的打“×”．
  ① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）；
3. （2）若一次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）是在 $\text{[math]}$ 上的“和谐函数”，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）若二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）是在 $\text{[math]}$ 上的“和谐函数”，与一次函数 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且满足 $\text{[math]}$ ，求这个“和谐函数”的解析式，并写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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