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1. (2024高一下·荣昌期中) 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为空间向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的叉乘，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位正交基底.以 $\text{[math]}$ 为坐标原点，分别以 $\text{[math]}$ 的方向为 $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知 $\text{[math]}$ 是空间直角坐标系中异于 $\text{[math]}$ 的不同两点.
1. （1） ①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
  ②证明： $\text{[math]}$ .
3. （2）记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
5. （3）问： $\text{[math]}$ 的几何意义表示以 $\text{[math]}$ 为底面､ $\text{[math]}$ 为高的三棱锥体积的多少倍？
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1. (2024高三下·安徽模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，利用公式 $\text{[math]}$ ①（其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数），将点 $\text{[math]}$ 变换为点 $\text{[math]}$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 组成的正方形数表 $\text{[math]}$ 唯一确定，我们将 $\text{[math]}$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …表示．
1. （1）在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，将点 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 按逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点 $\text{[math]}$ （到原点距离不变），求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，将点 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 按逆时针旋转 $\text{[math]}$ 角得到点 $\text{[math]}$ （到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
5. （3）向量 $\text{[math]}$ （称为行向量形式），也可以写成 $\text{[math]}$ ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为： $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是二阶矩阵 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的乘积，设 $\text{[math]}$ 是一个二阶矩阵， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是平面上的任意两个向量，求证： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024高三下·浙江开学考) 置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合 $\text{[math]}$ 的函数称为 $\text{[math]}$ 次置换.满足对任意 $\text{[math]}$ 的置换称作恒等置换.所有 $\text{[math]}$ 次置换组成的集合记作 $\text{[math]}$ .对于 $\text{[math]}$ ，我们可用列表法表示此置换： $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ ；
3. （2）证明：对任意 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为恒等置换；
5. （3）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
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1. (2023高一上·五华开学考) 若 $\text{[math]}$ （x、y是实数），则M的值是（）

A . 正数 B . 负数 C . 零 D . 以上皆有可能

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1. (2022高三上·抚顺月考) 定义矩阵运算： $\text{[math]}$ .
1. （1）计算 $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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1. (2022高一上·辽宁期中) 在R上定义运算 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 成立，则x的解集是．

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1. (2022高二上·长沙月考) 定义 $\text{[math]}$ 行列式 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ ，则下列表述错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 中心对称 B . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 是最小正周期为 $\text{[math]}$ 的奇函数

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1. (2022高三上·保定月考) 定义矩阵运算 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2022·上海市模拟) 设A是由 $\text{[math]}$ 个实数组成的2行n列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记 $\text{[math]}$ 为所有这样的矩阵构成的集合．记 $\text{[math]}$ 为A的第一行各数之和， $\text{[math]}$ 为A的第二行各数之和， $\text{[math]}$ 为A的第i列各数之和 $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、…、 $\text{[math]}$ 中的最小值．
1. （1）若矩阵 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （2）对所有的矩阵 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）给定 $\text{[math]}$ ，对所有的矩阵 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2022·上海市模拟) 三阶行列式 $\text{[math]}$ 中元素 $\text{[math]}$ 的代数余子式的值为．

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