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1. (2024·深圳模拟) 如图，正比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点A，若菱形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ，反比例函数图象和 $\text{[math]}$ 轴上，则菱形 $\text{[math]}$ 的边长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·沅江模拟) 在边长相等的小正方形组成的网格中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在格点上，那么 $\text{[math]}$ 的值为．

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1. (2024九下·惠阳模拟) 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0， $\text{[math]}$ ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ $\text{[math]}$ 上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\text{[math]}$ ，例如，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x² ，其焦点坐标为F（0， $\text{[math]}$ ），准线方程为l：y＝﹣ $\text{[math]}$ ．其中MF=MN，FH=2OH=1．
1. （1）【基础训练】
  请分别直接写出抛物线y＝2x²的焦点坐标和准线l的方程：　　，　　．
3. （2）【技能训练】
  如图2所示，已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
5. （3）【能力提升】
  如图3所示，已知过抛物线y＝ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
7. （4）【拓展升华】
  古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．后人把 $\text{[math]}$ 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
  如图4所示，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 时，请直接写出△HME的面积值．
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1. (2024九下·吉安期中) 为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座 $\text{[math]}$ 高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，支架 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，面板长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．（厚度忽略不计）
1. （1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
3. （2）小吉通过查阅资料，当面板 $\text{[math]}$ 绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足 $\text{[math]}$ 时，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ）
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1. (2024九下·罗城开学考) 如图，PA是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的直径，AB是弦，PO∥BC交AB于点D.
1. （1）求证：PB是⊙O的切线．
3. （2）当BC=2 $\text{[math]}$ ，cos∠AOD= $\text{[math]}$ 时，求PB的长．
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1. (2024·益阳模拟) 已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF.
1. （1）求证：四边形ABGE是菱形；
3. （2）若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长.
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1. (2024·婺城二模) 如图1，已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
5. （3）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  ①求 $\text{[math]}$ 的长；
  ②求 $\text{[math]}$ 的周长．
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1. (2024·犍为模拟)
如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．
1. （1）求证：AB与⊙O相切；
3. （2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？
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1. (2024·长沙会考) 江南水乡杭州有很多小河和石拱桥，石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知曲院风荷的一座石拱桥的跨度 $\text{[math]}$ 米，拱高 $\text{[math]}$ 米，那么桥拱所在圆的半径 $\text{[math]}$ 米，弧 $\text{[math]}$ 的长度为米．

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1. (2024·南宁模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，任取一点O ，使点O和点A在直线 $\text{[math]}$ 的两侧，以点A为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点M ， N ，分别以点M ， N为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧相交于点P ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点D ．若 $\text{[math]}$ 的长为3，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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