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1. (2024九下·新邵模拟) 如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，F为边 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至点G，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
图1 图2 备用图
1. （1） ①四边形 $\text{[math]}$ 一定是_______（填特殊四边形的名称）；
  ②若 $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 上运动，当四边形 $\text{[math]}$ 为正方形时， $\text{[math]}$ _______．
3. （2）如图2，若点F运动到 $\text{[math]}$ 的中点时，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，设 $\text{[math]}$ ，则k是否为定值，如果是定值，求出k的值；如果不是定值，请说明理由．
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，是否存在点F，使得四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·新邵模拟) 小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，则②号箭头处可以添加的条件是．（写出一种即可）

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1. (2024九下·长沙模拟) 为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造．如图，某小区有前后两栋楼分别是高层 $\text{[math]}$ 和小高层 $\text{[math]}$ ，两栋楼的楼间距 $\text{[math]}$ 为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为 $\text{[math]}$ ，测得对面小高层楼底D点的俯角为 $\text{[math]}$ ，已知小高层 $\text{[math]}$ 层高为3米．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果精确到1米）
1. （1）求该小区高层 $\text{[math]}$ 的高度；
3. （2）求该小区小高层有多少层？
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1. (2024九下·深圳模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ 都在直线 $\text{[math]}$ 上，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 位于点 $\text{[math]}$ 处．将 $\text{[math]}$ 沿直线，向右平移，直到点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合为止．记点 $\text{[math]}$ 平移的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 重叠区域面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A . B . C . D .

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1. (2024·德阳) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 是正三角形，点F是 $\text{[math]}$ 的中点，点P是矩形 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底的等腰三角形，则 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积的比值是.

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1. (2024·德阳) 宽与长的比是 $\text{[math]}$ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 $\text{[math]}$ 是黄金矩形. $\text{[math]}$ ，点P是边 $\text{[math]}$ 上一点，则满足 $\text{[math]}$ 的点P的个数为( )

A . 3 B . 2 C . 1 D . 0

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1. (2024·遂宁) 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理.
1. （1）实践与操作
  ①任意作两条相交的直线，交点记为O；
  ②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；OA ， OB ， OC ， OD
  ③顺次连结所得的四点得到四边形 $\text{[math]}$ .
  于是可以直接判定四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，则该判定定理是：.
3. （2）猜想与证明
  通过和同伴交流，他们一致认为四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程.
  已知：如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ .
  求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形.
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1. (2024·重庆) 在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
1. （1）如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点.用尺规过点O作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交AB ， CD于点E ， F ，连接AF ， CE（不写作法，保留作图痕迹）.
3. （2）已知：矩形 $\text{[math]}$ ，点E ， F分别在AB ， CD上，E ， F经过对角线 $\text{[math]}$ 的中点O ，且 $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.
  证明： $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ 点O是 $\text{[math]}$ 的中点，
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$
  又 $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.
  $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.
  进一步思考，如果四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：_.
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1. (2024九下·昭化模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点A在 $\text{[math]}$ 上，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点E，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，下列4个判断： ① $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若点G是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，以上结论判断正确是(填入正确的序号即可).

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1. (2024九下·昭化模拟) 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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