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1. (2024九下·石家庄模拟) 有公共端点P的两条线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 组成一条折线 $\text{[math]}$ ，若该折线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点 $\text{[math]}$ 叫做这条折线的“折中点”．已知点 $\text{[math]}$ 是折线 $\text{[math]}$ 的“折中点”，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . 2 B . 4 C . 2或14 D . 4或14

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1. (2024六下·哈尔滨期中) 如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则CD=；

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1. (2024·德阳) 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位： $\text{[math]}$ ）的正方形纸片 $\text{[math]}$ ，他在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别取点E和点M ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又在线段 $\text{[math]}$ 上任取一点N（点N可与端点重合），再将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠得到 $\text{[math]}$ ，随后连接 $\text{[math]}$ .小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，点 $\text{[math]}$ 在以E为圆心的圆弧上运动；
②当 $\text{[math]}$ 达到最大值时， $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离达到最大；
③ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ 达到最小值时， $\text{[math]}$ .
你认为小王同学得到的结论正确的个数是( )

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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1. (2024·滨州) 如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在该平面内找一点P ，使它到四个顶点的距离之和 $\text{[math]}$ 最小，则P点坐标为．

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1. (2024八下·金华月考) 如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF．
1. （1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
3. （2）若BC＝2 $\text{[math]}$ ， ∠C＝105°，∠CBE＝45°，求线段DF的长度．
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1. (2024九下·红桥模拟) 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转，得 $\text{[math]}$ ，点A，O旋转后的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记旋转角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）填空：如图①，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为______，点 $\text{[math]}$ 的坐标为______；
3. （2）如图②，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）连接 $\text{[math]}$ ，设线段 $\text{[math]}$ 的中点为M，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长的最小值（直接写出结果即可）．
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1. (2024八下·吉安月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上，P为 $\text{[math]}$ 内部的格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.
图1 图2
1. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 的边AC上确定一点D ，使PD的长最短.
3. （2）如图2，在 $\text{[math]}$ 的边AB上确定一点M ，边BC上确定一点N ，连接PM ， PN ，使 $\text{[math]}$ 的周长最短.
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1. (2024·大余二模) 综合与实践
某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 $\text{[math]}$ 型抛物线图象.发现：如图①所示，该类型图象上任意一点 $\text{[math]}$ 到定点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，始终等于它到定直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ （该结论不需要证明）.他们称：定点 $\text{[math]}$ 为图象的焦点，定直线 $\text{[math]}$ 为图象的准线， $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程.准线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，其中原点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ .例如，抛物线 $\text{[math]}$ ，其焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，准线方程为 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
图① 图②
1. （1）【基础训练】
  ①抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为 ▲ ，准线 $\text{[math]}$ 的方程为 ▲ ；
  ②如图②，已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点 $\text{[math]}$ 的距离是它到 $\text{[math]}$ 轴距离的3倍，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
3. （2）【能力提升】
  如图③，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，抛物线上的动点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为 $\text{[math]}$ ，到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；
  图③
5. （3）【拓展延伸】
  该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 $\text{[math]}$ 平移至 $\text{[math]}$ .抛物线 $\text{[math]}$ 内有一定点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴平行.当动点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上运动时，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离始终等于点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离等于点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的距离.
  请阅读上面的材料，回答问题
  如图④， $\text{[math]}$ 是第二象限内一定点， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点.当 $\text{[math]}$ 取最小值时，请求出 $\text{[math]}$ 的面积.
  图④
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1. (2024九下·沈丘模拟) 如图①，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点 $\text{[math]}$ 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·民权模拟) 如图，在扇形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点C，D均为 $\text{[math]}$ 的三等分点，点E为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，若 $\text{[math]}$ ，则阴影部分周长的最小值为

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