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1. (2024·台儿庄模拟) 如图，边长为6的正方形 $\text{[math]}$ 中，M为对角线 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点P．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·台儿庄模拟)
1. （1）如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）【问题解决】
  如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
5. （3）【类比迁移】
  如图3，在菱形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024七下·揭阳月考) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（　　）

A . AH＝2DF B . HE＝BE C . AF＝2CE D . DH＝DF

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1. (2024九下·河池模拟) 如图， $\text{[math]}$ ，点E在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·河池模拟) 阅读理解：
1. （1）【学习心得】
  小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
  ①类型一，“定点+定长”：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
  解：若以点 $\text{[math]}$ （定点）为圆心， $\text{[math]}$ （定长）为半径作辅助圆 $\text{[math]}$ ，（请你在图1上画圆）则点 $\text{[math]}$ 必在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的圆心角，而 $\text{[math]}$ 是圆周角，从而可容易得到 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
  ②类型二，“定角+定弦”：如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内部的一个动点，且满足 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 长的最小值．
  解： $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ，（定角）
  $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ （定弦）为直径的 $\text{[math]}$ 上，请完成后面的过程．
3. （2）【问题解决】
  如图3，在矩形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一动点（点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为．
5. （3）【问题拓展】
  如图4，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上移动，且满足 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，交于点 $\text{[math]}$ ．
  ①请你写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；
  ②点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 开始运动到点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 也随之运动，请求出点 $\text{[math]}$ 的运动路径长．
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1. (2024·寻乌模拟) 在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
1. （1）求证：△ABP≌△ACQ；
3. （2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
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1. (2024·南城模拟) 阅读以下作图步骤：
①在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；②分别以 $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 内交于点 $\text{[math]}$ ；③作射线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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1. (2024八下·河池期中) 某巨型摩天轮的最低点距离地面 $\text{[math]}$ ，圆盘半径为 $\text{[math]}$ ．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到达点 $\text{[math]}$ 时，小丽到达点 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，且小丽距离地面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
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1. (2024·绵阳模拟) 如图，已知：在△ABC中， $\text{[math]}$ ，点P是BC边上的动点. $\text{[math]}$ 交AB于D.以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①当 $\text{[math]}$ ，求PC的长.
  
  ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长.
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为.
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1. (2024七下·光明期中) 【操作发现】（1）如图1是一个长为 $\text{[math]}$ 、宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．那么图2中的阴影部分的面积为：_______（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的等量失系是________；
【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若x，y为实数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求阴影部分的面积．

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