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1. (2024·阳新模拟) 如图①，直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，与x轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．
1. （1）求抛物线的解析式：
3. （2）当m为何值时， $\text{[math]}$ 面积S取得最大值？请说明理由；
5. （3）如图②，连接 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 $\text{[math]}$ ，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
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1. (2024·阳新模拟) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴的交点B在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间（不包括这两点），对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中含所有正确结论的选项是（）

A . ①③④ B . ①③⑤ C . ②④⑤ D . ①③④⑤

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1. (2024·长沙模拟) 我们不妨约定：若关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 同时满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“互联”函数 $\text{[math]}$ 根据该约定，解答下列问题：
1. （1）求二次函数 $\text{[math]}$ 的“互联”函数的解析式；
3. （2）若关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ 的顶点在它的“互联”函数图象上，且当且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 最大值为 $\text{[math]}$ ，求此二次函数解析式；
5. （3）关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 的图象顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当它的“互联”函数 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，从右往左依次是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求当四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时 $\text{[math]}$ 的值？
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1. (2024·攀枝花模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴最多有一个公共点，若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·黄冈模拟) 如图，函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 关于x的方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根

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1. (2024九下·荆州月考) 已知二次函数 $\text{[math]}$ （a ， b ， c为常数， $\text{[math]}$ ）的图象如图所示，有如下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根；其中正确的个数为（）个．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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1. (2024九下·长沙月考) 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，有如下结论：
①c＜1； ②2a＋b＝0； ③b²＜4ac；④若方程ax²＋bx＋c＝0的两根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝2.其中正确的结论是（　　）

A . ①② B . ①③ C . ②④ D . ③④

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1. (2024·蒸湘模拟) 定义：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

图① 图②
1. （1）如图①，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别是 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 中，是矩形 $\text{[math]}$ “梦之点”的是；
3. （2）如图②，已知点A、B是抛物线 $\text{[math]}$ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
5. （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q ，使得以 $\text{[math]}$ 为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·余杭月考) 设函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交点的横坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的值分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的值分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·高州月考) 小明同学学习二次函数后，对函数 $\text{[math]}$ 进行了研究，在经历列表、描点、连线步骤后得到如下的函数图象，请根据函数图象回答下列问题：
1. （1）观察研究
  ①方程 $\text{[math]}$ 的解为；
  ②关于x的方程-(|x|-2)²+1=a有四个实数根时，a的取值范围是
3. （2）综合应用：
  当函数y=-(|x|-2)²+1的图象与直线y=x+b也有三个交点时，求出b的值
5. （3）延伸思考
  将函数y=-(|x|-2）²+1的图象经过怎样的平移可得到函数y₁=-(|x-1|-2）²+3的图象?请写出平移过程，并直接写出当2＜y₁≤3时，自变量x的取值范围.
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