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1. (2024九下·新邵模拟) 如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，F为边 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至点G，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
图1 图2 备用图
1. （1） ①四边形 $\text{[math]}$ 一定是_______（填特殊四边形的名称）；
  ②若 $\text{[math]}$ ，点F在 $\text{[math]}$ 上运动，当四边形 $\text{[math]}$ 为正方形时， $\text{[math]}$ _______．
3. （2）如图2，若点F运动到 $\text{[math]}$ 的中点时，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，设 $\text{[math]}$ ，则k是否为定值，如果是定值，求出k的值；如果不是定值，请说明理由．
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，是否存在点F，使得四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·深圳模拟) 如图，在正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ， M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG⋅CG的值为．

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1. (2024·成都) 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）【初步感知】
  如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在纸片 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中，试探究 $\text{[math]}$ 的值.
3. （2）【深入探究】
  如图2，在纸片 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 的延长线上时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
5. （3）【拓展延伸】
  在纸片 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中，试探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形 $\text{[math]}$ 的面积；若不能，请说明理由.
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1. (2024·成都) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条角平分线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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1. (2024·成都) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为斜边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长和 $\text{[math]}$ 的直径.
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1. (2024·泸州) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接三角形，AB是 $\text{[math]}$ 的直径，过点B作 $\text{[math]}$ 的切线与AC的延长线交于点D ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， CE交AB于点F ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）过点C作 $\text{[math]}$ 于点G ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求FG的长．
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1. (2024·泸州) 宽与长的比是 $\text{[math]}$ 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 交CD于点E ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·连云港) 图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城 $\text{[math]}$ ，的边长为长 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，南门 $\text{[math]}$ 设立在 $\text{[math]}$ 边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路 $\text{[math]}$ 在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在 $\text{[math]}$ 处测得雕塑在北偏东 $\text{[math]}$ 方向上，在 $\text{[math]}$ 处测得雕塑在北偏东 $\text{[math]}$ 方向上．
1. （1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
3. （2）求点 $\text{[math]}$ 到道路BC的距离；
5. （3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离 $\text{[math]}$ 处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响?
  （结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ）
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1. (2024·连云港) 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）

A . 甲和乙 B . 乙和丁 C . 甲和丙 D . 甲和丁

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1. (2024·德阳) 已知 $\text{[math]}$ 的半径为5，B、C是 $\text{[math]}$ 上两定点，点A是 $\text{[math]}$ 上一动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点D.
1. （1）证明：点D为 $\text{[math]}$ 上一定点；
3. （2）过点D作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F.
  ①判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
  ②若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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