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1. (2024九下·雁江模拟) 如图，反比例函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，一次函数 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C．
1. （1）求反比例函数和一次函数解析式；
3. （2）连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
5. （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接 $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
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1. (2024九下·雁江模拟) 如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为 $\text{[math]}$ 的宣传牌，点E和点D分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为 $\text{[math]}$ ，同时测得教学楼外墙外点D的仰角为 $\text{[math]}$ ，从点C沿坡度为 $\text{[math]}$ 的斜坡向上走到点F时， $\text{[math]}$ 正好与水平线 $\text{[math]}$ 平行．
1. （1）求点F到直线 $\text{[math]}$ 的距离（结果保留根号）；
3. （2）若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为 $\text{[math]}$ ，求出宣传牌 $\text{[math]}$ 的高度（结果精确到 $\text{[math]}$ ）．（注： $\text{[math]}$ ）
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1. (2024九下·雁江模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且分别与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则以下结论：①无论 $\text{[math]}$ 取何值， $\text{[math]}$ 恒小于0：②将 $\text{[math]}$ 向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到 $\text{[math]}$ ；③当 $\text{[math]}$ 时，随着 $\text{[math]}$ 的增大， $\text{[math]}$ 的值先增大后减小；④四边形 $\text{[math]}$ 的面积为18．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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1. (2024九下·雁江模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 为圆上一点，连接 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·雁江模拟) 如图，一个由7个小正方体组成的立体图形，拿走下列哪两个立体图形后，俯视图不会发生变化（）

A . ①和② B . ②和③ C . ③和④ D . ①和④

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1. (2024九下·雁江模拟) $\text{[math]}$ 的值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·北票模拟) 【定义】
例如，如图1，过点A作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点B，线段 $\text{[math]}$ 的长度称为点A到 $\text{[math]}$ 的垂直距离，过A作 $\text{[math]}$ 平行于y轴交 $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ 的长就是点A到 $\text{[math]}$ 的竖直距离．
【探索】
当 $\text{[math]}$ 与x轴平行时， $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离 $\text{[math]}$ 与点到直线的竖直距离 $\text{[math]}$ 存在一定的数量关系，当直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ___________ $\text{[math]}$ ．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为 $\text{[math]}$ ，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高 $\text{[math]}$ ，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距 $\text{[math]}$ ，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线 $\text{[math]}$ ，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，
（1） $\text{[math]}$ ___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树 $\text{[math]}$ （垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时 $\text{[math]}$ m，如图，种植一棵树 $\text{[math]}$ （垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出 $\text{[math]}$ 最高应为多少？

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1. (2024九下·北票模拟) 如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂 $\text{[math]}$ 长度可调节 $\text{[math]}$ ，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是 $\text{[math]}$ ，手机支撑片 $\text{[math]}$ 可绕点B上下转动， $\text{[math]}$ ，转动角β变动范围是 $\text{[math]}$ ．小明使用该支架进行线上学习，当 $\text{[math]}$ ，且点C离底座的高度不小于 $\text{[math]}$ 时，他才感觉舒适．
1. （1）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据： $\text{[math]}$ ）．
3. （2）如图3，当 $\text{[math]}$ 的情况下， $\text{[math]}$ 要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到 $\text{[math]}$ ．参考数据 $\text{[math]}$ ）
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1. (2024九下·北票模拟) 阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别相切．问题：过点B做 $\text{[math]}$ 圆的切线 $\text{[math]}$ ，切点为E，交 $\text{[math]}$ 于点F，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的半径为．

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1. (2024九下·北票模拟) 如图，将一个含 $\text{[math]}$ 的直角三角板 $\text{[math]}$ 放在平面直角坐标系的第一象限，使直角顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作抛物线 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点.要使这条抛物线经过点 $\text{[math]}$ ，那么抛物线要沿对称轴向下平移个单位．

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