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1. (2024九下·北票模拟) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径画弧交于点P，作射线 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线分别交 $\text{[math]}$ 于点M，N，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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1. (2024九下·北票模拟) 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．其中是真命题的是（）

A . ②③ B . ①② C . ①②④ D . ①②③④

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1. (2024九下·定州模拟) 在等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点D，半圆O的直径 $\text{[math]}$ 开始在边 $\text{[math]}$ 上，且点E与点C重合， $\text{[math]}$ ．将半圆O绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，半圆O与 $\text{[math]}$ 相切于点P．如图1所示．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （2）如图2．当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与半圆O交于点M，N时，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求 $\text{[math]}$ 的度数；
  ②求 $\text{[math]}$ 的长度；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 时，将半圆O沿边 $\text{[math]}$ 向左平移，设平移距离为x．当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围．
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1. (2024九下·定州模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中（如图），抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式，并写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）抛物线的对称轴上有一点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在第二象限，如果点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离与它到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）抛物线上有一点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 恰好经过 $\text{[math]}$ 的重心，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离．
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1. (2024九下·定州模拟) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为原点，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，顶点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，点 $\text{[math]}$ 在第二象限， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图①，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）将正方形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移，得到正方形 $\text{[math]}$ ，点A，O，B，C的对应点分别为 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合部分的面积为 $\text{[math]}$ ．
  ①如图②，当 $\text{[math]}$ 时，正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合部分为五边形，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，试用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；
  ②若平移后重合部分的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是_______（请直接写出结果即可）．
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1. (2024九下·定州模拟) 如图，小欢从公共汽车站 $\text{[math]}$ 出发，沿北偏东 $\text{[math]}$ 方向走 $\text{[math]}$ 米到达东湖公园 $\text{[math]}$ 处，参观后又从 $\text{[math]}$ 处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东 $\text{[math]}$ 方向的图书馆 $\text{[math]}$ 处．
1. （1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离；
3. （2）如果小欢以 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 分的速度从图书馆 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 回到公共汽车站 $\text{[math]}$ ，那么她在 $\text{[math]}$ 分钟内能否到达公共汽车站？ $\text{[math]}$ 注： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
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1. (2024九下·定州模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕顶点C顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接BD，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 4

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1. (2024九下·定州模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 折叠，使 $\text{[math]}$ 边落在 $\text{[math]}$ 边上，展开后得到折痕l，则l的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . 3

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1. (2024九下·定州模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，要判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小关系（ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）（）
对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是

A . Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B . Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C . Ⅰ、Ⅱ都可行 D . Ⅰ、Ⅱ都不可行

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1. (2024九下·临安模拟) 关于一元二次方程 $\text{[math]}$ ，有以下命题：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
②若该方程的两根为 $\text{[math]}$ 和1，则 $\text{[math]}$ ；
③若上述方程有两个相等的实数根，则 $\text{[math]}$ 必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则 $\text{[math]}$ 一定是方程 $\text{[math]}$ 的一个根．
其中真命题是．（只需填写序号）

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