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1. (2024九下·南山模拟) 钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人．
图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧 $\text{[math]}$ 、支架 $\text{[math]}$ 和支架 $\text{[math]}$ 组成，D为两个支架的连接点，其中支架 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 且可在D处任意旋转，C为 $\text{[math]}$ 中点，支架 $\text{[math]}$ 垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架 $\text{[math]}$ ，使弦 $\text{[math]}$ 与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架 $\text{[math]}$ 以保持 $\text{[math]}$ 始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中 $\text{[math]}$ 为光线方向， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况．
定义变量：设 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，太阳高度角定义为光线与地面夹角 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角）．
问题一：如图4，若 $\text{[math]}$ ，当伞面端点 $\text{[math]}$ 的影子刚好与 $\text{[math]}$ 点重合时，求影子 $\text{[math]}$ 的长度．
问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在 $\text{[math]}$ 点，面朝阳光方向，设 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 米，请利用相关变量 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ．
问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为 $\text{[math]}$ ，俱乐部选择 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 型号的钓伞．假设 $\text{[math]}$ 点刚好在岸边，座椅在 $\text{[math]}$ 处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 点左侧）不超过 $\text{[math]}$ 米，且为了满足视野不影响比赛，要求 $\text{[math]}$ 点离地面的垂直距离不小于 $\text{[math]}$ 米，根据此要求，该俱乐部应如何设置 $\text{[math]}$ 的高度以满足比赛，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．（精确到0.1米，参考数据： $\text{[math]}$ ）

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1. (2024九下·平江模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D在边 $\text{[math]}$ 上，过点D作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·姜堰模拟) 已知点P是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．（结果保留根号）

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1. (2024九下·姜堰模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024九下·新会月考) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，那么菱形 $\text{[math]}$ 的周长为（）

A . 24 B . 18 C . 16 D . 8

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1. (2024九下·和平模拟) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 交于点O，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ） $\text{[math]}$ 的面积为；
（Ⅱ）若点F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2024九下·沅江模拟) 如图，乐器上的一根弦 $\text{[math]}$ ，两个端点 $\text{[math]}$ 固定在乐器面板上，支撑点 $\text{[math]}$ 是靠近点 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，支撑点 $\text{[math]}$ 是靠近点 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，则点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离为．（结果保留根号）

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1. (2024九下·四会模拟) 如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比 $\text{[math]}$ ；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为 $\text{[math]}$ ，则眼梢到鼻翼的距离为 $\text{[math]}$ ．（ $\text{[math]}$ ，结果保留两位小数）

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1. (2024九下·惠城模拟) 根据以下素材，探索完成任务．

如何制作简易风筝？
素材1	图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段 $\text{[math]}$ 作为骨架， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，并按 $\text{[math]}$ 的比例固定骨架，骨架 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共消耗竹条 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
素材2	考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现 $\text{[math]}$ 以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）． $\text{[math]}$ 以下部分的蒙面设计为 $\text{[math]}$ ，点H在 $\text{[math]}$ 延长线上且 $\text{[math]}$ ．
素材3	从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括 $\text{[math]}$ 以上抛物线部分及 $\text{[math]}$ 以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）．

问题解决，完成以下任务：

（1）确定骨架长度：求骨架 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度．
（2）确定蒙面形状：求抛物线的函数表达式．
（3）选择纸张大小：至少选择面积为多少的长方形纸片？

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1. (2024九下·宝坻模拟) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴的点 $\text{[math]}$ 处．
1. （1）如图①，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．
  ①如图②，当重叠部分为四边形时，试用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围（直接写出结果即可）．
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