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1. (2024·黔东南模拟) 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在CD边上，点F在BC边上，连接AE， DF，AE与DF相交于点 P．
1. （1）【动手操作】在图1中画出线段AE， DF；
3. （2）【问题探究】若 DF⊥AE．
  ①利用图2 探究 CE+CF的值；
  ②过点P作PM⊥CD， PN⊥BC，垂足分别为M， N，连接MN，试求MN的最小值．
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1. (2024八下·黔东南期中) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为平面内一点，且 $\text{[math]}$ ，点Q为CD上一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 11 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 13

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1. (2024·青秀模拟) 如图，点 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的长是时， $\text{[math]}$ 最短．

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1. (2024·青秀模拟) 如图，从学校 $\text{[math]}$ 到书店 $\text{[math]}$ 最近的路线是 $\text{[math]}$ 号路线，得出这个结论的根据是（）

A . 两点确定一条直线 B . 两点之间，线段最短 C . 垂线段最短 D . 三角形具有稳定性

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1. (2024七下·长兴月考) 下列说法正确的是（）

A . 两点之间，直线最短 B . 不相交的两条直线叫做平行线 C . 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D . 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离

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1. (2024七下·武侯月考) 下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）

A . 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B . 两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短 C . 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线 D . 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

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1. (2024七上·庐江期末) 如图，点C是线段AB外一点，用没有刻度直尺和圆规画图：
1. （1）画射线CB；
3. （2）画直线AC；
5. （3） ①延长线段AB到E，使AE＝3AB；
  ②在①的条件下，如果AB＝2cm，那么BE＝ cm．
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1. (2024七下·西秀月考) 如图，一辆汽车在直线形公路 $\text{[math]}$ 上由A向B行驶，点C ， D分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点E时，离村庄C最近，行驶到点F时，离村庄D最近．
1. （1）请你在 $\text{[math]}$ 上分别画出E ， F两点的位置；
3. （2）如果在公路上有一个点P到村庄C和村庄D的距离之和最短，请在公路 $\text{[math]}$ 上画出点P ．
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1. (2024八下·花溪月考) 如图①所示，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x.
① ②
1. （1）用含x的代数式表示AC+CE的长：；
3. （2） AC+CE的最小值；
5. （3）根据(2)中的规律和结论，请模仿图①在网格中(如图②所示)构图并求代数式 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值.
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1. (2024八下·道县月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．按以下步骤作图：
①以点 $\text{[math]}$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点M、N；
②分别以M、N为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ；
③作射线 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一动点．则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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