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1. (2024八下·经开期中) 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（　　）

A . 3 $\text{[math]}$ B . 4 C . 2 $\text{[math]}$ D . 2 $\text{[math]}$

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1. (2024九下·滨江月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将此三角形绕点 $\text{[math]}$ 沿顺时针方向旋转后得到 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 恰好落在线段AB上， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·镇赉县月考) 如图，在等腰直角 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 上任取两点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则以 $\text{[math]}$ 为边长的三角形的形状是．

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1. (2024·耒阳模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是.

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1. (2024·耒阳模拟) 如图，平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 在边长为1的正方形组成的网格中， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）把 $\text{[math]}$ 绕原点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到 $\text{[math]}$ ，画出 $\text{[math]}$ 并写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）在（1）的基础上，求线段 $\text{[math]}$ 在旋转过程中扫过的面积．
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1. (2024·耒阳模拟) 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D，E分别在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）观察猜想
  请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系；
3. （2）类比探究
  将图① 中 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
5. （3）解决问题
  若 $\text{[math]}$ ，将图①中的 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值．
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1. (2024·耒阳模拟) 如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边在 $\text{[math]}$ 轴上，将 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·耒阳模拟) 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 边的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是点A的旋转路径，连接 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为

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1. (2024·常德模拟) 如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为中心，将线段 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
5. （3）如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，试说明 $\text{[math]}$ 的面积是一个定值，并求出该定值．
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1. (2024九下·襄阳月考) 如图
1. （1）观察猜想：
  如图1，在直角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 边上一动点（与点B不重合），连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的位置关系为，数量关系为；
3. （2）数学思考：
  如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D、E为 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
5. （3）拓展延伸：
  如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边的三角形是以 $\text{[math]}$ 为斜边的直角三角形，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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