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1. (2024九下·西安模拟) 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面 $\text{[math]}$ 的倾斜角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，长为3米的真空管 $\text{[math]}$ 与水平线 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，倾斜屋顶上的 $\text{[math]}$ 处到水平线的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一直线上，且 $\text{[math]}$ ．求安装热水器的铁架水平横管 $\text{[math]}$ 的长度（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果精确到 $\text{[math]}$ 米）．

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1. (2024·珠海模拟) 传统工艺品油纸伞是我国的非物质文化遗产，使用历史已有1000多年．伞是由伞柄，伞骨，伞面三部分组成．伞柄是伞的主心骨，伞骨是用来支撑整个伞面的，伞面是伞中重要的组成部分．如图，伞打开时，其伞面的直径 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，相对两根伞骨的最大夹角 $\text{[math]}$ ，求此伞的伞骨 $\text{[math]}$ 的长度．（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

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1. (2024·潮南模拟) LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源开关的智能照明产品．当人进入感应范围内，灯自动亮，离开感应范围，灯自动熄灭．若在感应范围内有多个感应灯，则人距离哪个感应灯更近，哪个感应灯就会亮，其他感应灯则不亮．若人到两个感应灯的距离相等，则两个感应灯都亮．
1. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若在顶点B，C处分别装有感应灯， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，垂足为点F，交 $\text{[math]}$ 于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积；
3. （2）如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高，在 $\text{[math]}$ 的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积．
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1. (2024九下·北票模拟) 【定义】
例如，如图1，过点A作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点B，线段 $\text{[math]}$ 的长度称为点A到 $\text{[math]}$ 的垂直距离，过A作 $\text{[math]}$ 平行于y轴交 $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ 的长就是点A到 $\text{[math]}$ 的竖直距离．
【探索】
当 $\text{[math]}$ 与x轴平行时， $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离 $\text{[math]}$ 与点到直线的竖直距离 $\text{[math]}$ 存在一定的数量关系，当直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ___________ $\text{[math]}$ ．
【应用】
如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为 $\text{[math]}$ ，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高 $\text{[math]}$ ，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距 $\text{[math]}$ ，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线 $\text{[math]}$ ，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处，
（1） $\text{[math]}$ ___________．
（2）如图3，现决定在山上种另一棵树 $\text{[math]}$ （垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．
【拓展】
（3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时 $\text{[math]}$ m，如图，种植一棵树 $\text{[math]}$ （垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出 $\text{[math]}$ 最高应为多少？

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1. (2024九下·北票模拟) 如图，一种手机支架可抽象成如图2的几何图形，伸缩臂 $\text{[math]}$ 长度可调节 $\text{[math]}$ ，并且可绕点A上下转动，转动角α变动范围是 $\text{[math]}$ ，手机支撑片 $\text{[math]}$ 可绕点B上下转动， $\text{[math]}$ ，转动角β变动范围是 $\text{[math]}$ ．小明使用该支架进行线上学习，当 $\text{[math]}$ ，且点C离底座的高度不小于 $\text{[math]}$ 时，他才感觉舒适．
1. （1）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求托片底部点C离底座的高度，并判断是否符合小明使用的舒适要求（参考数据： $\text{[math]}$ ）．
3. （2）如图3，当 $\text{[math]}$ 的情况下， $\text{[math]}$ 要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求．（精确到 $\text{[math]}$ ．参考数据 $\text{[math]}$ ）
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1. (2024九下·北票模拟) 阅读材料，中用元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，书中问题与方程有密切联系，其记载“方田圆池结角池图”“方田一段，一角圆池占之”可用现代数学语言描述如下：如图所示，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别相切．问题：过点B做 $\text{[math]}$ 圆的切线 $\text{[math]}$ ，切点为E，交 $\text{[math]}$ 于点F，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的半径为．

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1. (2024九下·定州模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中（如图），抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式，并写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）抛物线的对称轴上有一点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在第二象限，如果点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离与它到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）抛物线上有一点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 恰好经过 $\text{[math]}$ 的重心，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离．
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1. (2024九下·定州模拟) 如图，小欢从公共汽车站 $\text{[math]}$ 出发，沿北偏东 $\text{[math]}$ 方向走 $\text{[math]}$ 米到达东湖公园 $\text{[math]}$ 处，参观后又从 $\text{[math]}$ 处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东 $\text{[math]}$ 方向的图书馆 $\text{[math]}$ 处．
1. （1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离；
3. （2）如果小欢以 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$ 分的速度从图书馆 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 回到公共汽车站 $\text{[math]}$ ，那么她在 $\text{[math]}$ 分钟内能否到达公共汽车站？ $\text{[math]}$ 注： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
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1. (2024九下·石家庄模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O是 $\text{[math]}$ 的中点，D是线段 $\text{[math]}$ 上一点，以O为旋转中心，将线段 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到扇形 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若点D与点B重合，
  ①判断：点C $\text{[math]}$ 上（填“在”或“不在”）；
  ②求A，E两点间的距离．
3. （2）如图2，设 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ 于点O，求阴影部分的面积；
5. （3）当扇形 $\text{[math]}$ 所在圆与 $\text{[math]}$ 的边相切时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024九下·迎泽模拟) 综合与探究
如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ ． P是抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点D，交 $\text{[math]}$ 于点E，过点P作直线 $\text{[math]}$ ，交y轴于点F，交 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 于点H．
1. （1）求二次函数的表达式，并直接写出直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式．
3. （2）求线段 $\text{[math]}$ 的最大值．
5. （3）在点P运动的过程中，是否存在点F，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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