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1. (2024九下·宁波月考) 如图1所示，已知AB ， CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；
3. （2）在图1，连接CB ， DB ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）如图2，连接DP交AB于点G ，过G作 $\text{[math]}$ 于点P ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024九下·萧山月考) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 于点E ，点F在 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 与点G ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N ，过点F作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 于点M ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．（用含a的代数式表示）
5. （3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024九下·杭州月考) 如图
1. （1）问题提出
  如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆的圆心，则 $\text{[math]}$ 的长为
3. （2）问题探究
  如图②，已知矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为直径作半圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 上一动点，求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的最大距离；
5. （3）问题解决
  某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形 $\text{[math]}$ 和弦 $\text{[math]}$ 与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 上的一点 $\text{[math]}$ 修建一条笔直的小路 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，过弦 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，又测得 $\text{[math]}$ 米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
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1. (2024·台州模拟) 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.
1. （1）【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.
3. （2）【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
  求证： $\text{[math]}$ .
5. （3）【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.
  ①当BC=5时，求AD的长.
  ②当△BCD是和美三角形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024·温州模拟) 如图1，锐角 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于D，点F在 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，
  ①求 $\text{[math]}$ 的值；
  ②求 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3）如图2，延长AD交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·台州模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为。

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1. (2024九下·余杭月考) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的四个点，且弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，在探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
3. （2）如图2， $\text{[math]}$ 是等边三角形，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用（1）的结论，求 $\text{[math]}$ 的周长.
5. （3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
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1. (2024九下·瑞安开学考) 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与 $\text{[math]}$ 边相切于 $\text{[math]}$ 点，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 是下半圆弧上的中点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的半径和 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3） $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024九下·镇海区开学考) 已知锐角 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；
3. （2）如图，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2024九下·南山月考) 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为台面截线，半圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .水面截线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）如图（1）求水深 $\text{[math]}$ ；
3. （2）将图（1）中的老碗先沿台面 $\text{[math]}$ 向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合，求此时最高点 $\text{[math]}$ 和最低点 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时 $\text{[math]}$ ，求滚动过程中圆心 $\text{[math]}$ 运动的路径长.
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