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1. (2024九下·杭州月考) 已知：如图， $\text{[math]}$ 是锐角三角形，⊙O是以 $\text{[math]}$ 为直径的圆，交 $\text{[math]}$ 边于D ， $\text{[math]}$ 边于E.连结 $\text{[math]}$ 交于点F ，若 $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于H点，交 $\text{[math]}$ 于M点，求证： $\text{[math]}$
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1. (2024·新邵模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是对称轴.
1. （1）求该抛物线的函数表达式；
3. （2）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
5. （3） $\text{[math]}$ 为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线 $\text{[math]}$ 右侧，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心、作半径为 $\text{[math]}$ 的圆， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，切点为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长的取值范围.
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1. (2024·黔东南模拟) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，． $\text{[math]}$ ，连接AO，延长AO交BC于点D，交⊙O于点E．
1. （1） ∠ACE的度数为度，写出图中一对全等的三角形：；
3. （2）求证： △ADB∽△BDE；
5. （3）若OD=DE，试求∠BAC的度数．
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1. (2024·贵州模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的两点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，过点 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证∶ $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径；
5. （3）在（2）的条件下，求出 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2024·贵州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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1. (2024·珠海模拟) 如图1， $\text{[math]}$ 点为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 点为劣弧 $\text{[math]}$ 上一个动点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，连结 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为；
3. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）如图3，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 点运动时（不与 $\text{[math]}$ 两点重合），求证： $\text{[math]}$ 为定值，并求出这个定值．
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1. (2024·安州模拟) 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E ，且AD⊥DE于D ，与⊙O交于点F ．
1. （1）判断AC是否是∠DAE的平分线？并说明理由；
3. （2）连接OF与AC交于点G ，当AG＝GC＝k时，求切线CE的长．
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1. (2024九下·广州月考) 如图，在平面直角坐标系中，点M是第一象限内一点，过M的直线分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，且M是AB的中点．以OM为直径的⊙P分别交x轴，y轴于C，D两点，交直线AB于点E（位于点M右下方），连结DE交OM于点K．
1. （1）若点M的坐标为（3，4），
  ①求A，B两点的坐标；
  ②求ME的长．
3. （2）若 $\text{[math]}$ =3，求∠OBA的度数．
5. （3）设tan∠OBA=x（0＜x＜1）， $\text{[math]}$ =y，直接写出y关于x的函数解析式．
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1. (2024·深圳模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）下列条件：
  ① $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点；
  ② $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；
  ③ $\text{[math]}$ ．
  请从中选择一个能证明直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线的条件，并写出证明过程；
3. （2）若直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024九下·广水月考) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 在直径 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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