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1. (2024九下·花溪月考) 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点 A（-3，0）和点B（1，0），顶点为D.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为（-2，-3）.
1. （1）求抛物线和直线l的函数表达式.
3. （2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.
  ①当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形；
  ②设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
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1. (2024·长沙模拟) 已知四个实数 $\text{[math]}$ ，规定新运算： $\text{[math]}$ ；若一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
1. （1）下列关于 $\text{[math]}$ 的二次函数是否与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”；
  ① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）．
3. （2）已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不重合），若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
5. （3）已知二次函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”，并且二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，记抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，是否存在四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形？若存在，求此时顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·广东模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，并交 $\text{[math]}$ 轴于另一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的表达式；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
5. （3）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·阳江模拟) 综合运用
如题图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）设点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值及此时点P的坐标；
5. （3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在以 $\text{[math]}$ 为边，点B ， C ， M ， N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·珠海模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，点D是抛物线上一动点，点E是线段AC的中点，连接AD ，以AE和AD为一组邻边作□ADGE ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）当点D在直线AC上方的抛物线上时，求□ADGE面积的最大值及此时点D的坐标；
5. （3）当点G落在坐标轴上时，请直接写出点D的坐标．
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1. (2024·新邵模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是对称轴.
1. （1）求该抛物线的函数表达式；
3. （2）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
5. （3） $\text{[math]}$ 为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线 $\text{[math]}$ 右侧，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心、作半径为 $\text{[math]}$ 的圆， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切，切点为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长的取值范围.
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1. (2024·双流模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
3. （2）点P是直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点E ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点P的坐标；
5. （3）将该抛物线沿x轴向右平移4个单位长度得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得以B ， C ， N ， M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·攀枝花模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求二次函数的解析式；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线的对称轴上一个动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的长度最小时，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）在 $\text{[math]}$ 的条件下，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·成都模拟) 已知：在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴的另一交点为点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，求抛物线的解析式；
3. （2）如图2，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方拋物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 最大值时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标及 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）如图3， $\text{[math]}$ 分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，若在 $\text{[math]}$ 两点运动过程中，始终有 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的积等于2．试探究直线 $\text{[math]}$ 是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
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1. (2024九下·广州月考) 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 $\text{[math]}$ 的坐标值：

x	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为F， $\text{[math]}$ 的外接圆与 $\text{[math]}$ 相交于点E.试问：线段 $\text{[math]}$ 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

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