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1. (2024·深圳模拟) 综合与探究．
1. （1）【特例感知】
  如图（a），E是正方形ABCD外一点，将线段AE绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到AF ，连接DE ， BF ．求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）【类比迁移】
  如图（b），在菱形ABCD中， $\text{[math]}$ ， P是AB的中点，将线段PA ， PD分别绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到PE ， PF ， PF交BC于点G ，连接CE ， CF ，求四边形CEGF的面积：
5. （3）【拓展提升】
  如图（c），在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ 为锐角且满足 $\text{[math]}$ ． P是射线BA上一动点，点C ， D同时绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，直接写出BP的长．
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1. (2024九下·长沙月考) 如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
1. （1）求证：BE＝CD；
3. （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，
  求证：四边形ACED是平行四边形．
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1. (2024九下·文山月考) 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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1. (2024·黔东南模拟) 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在CD边上，点F在BC边上，连接AE， DF，AE与DF相交于点 P．
1. （1）【动手操作】在图1中画出线段AE， DF；
3. （2）【问题探究】若 DF⊥AE．
  ①利用图2 探究 CE+CF的值；
  ②过点P作PM⊥CD， PN⊥BC，垂足分别为M， N，连接MN，试求MN的最小值．
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1. (2024·黔东南模拟) 如图，在平行四边形ABCD中， E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于 F．
1. （1）求证： AD=FC；
3. （2）连接BE，若△AEB的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
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1. (2024·贵州模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点F是 $\text{[math]}$ 的中点，点E是 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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1. (2024·贵州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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1. (2024七下·广州月考) 如图，将周长为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 沿边 $\text{[math]}$ 向右移动 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的周长是（） $\text{[math]}$ ．

A . 17 B . 19 C . 22 D . 24

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1. (2024七下·广州月考) 如图，把梯形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向平移得到梯形 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则阴影部分面积为．

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1. (2024·织金模拟) 问题提出
在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点G，H分别为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系和位置关系？

问题解决
1. （1）先将问题特殊化：如图（1），当旋转角为0°，即处于起始位置时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是．
3. （2）继续研究特殊情形：如图（2），当点M在线段 $\text{[math]}$ 上时，（1）中的结论是否成立？若成立，证明结论；若不成立，请说明理由．
5. （3）由此归纳一般结论：如图（3），在旋转过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是，位置关系是．
7. （4）拓展应用
  如图（4），当将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，应用上述探究的结论，求 $\text{[math]}$ 的长．
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