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1. (2024八下·恩施期中) 如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是。

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1. (2024·叙州模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 交于点P ，过点P作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，
下列四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确结论有．

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1. (2024·叙州模拟) 如图， $\text{[math]}$ 内接于圆， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ （）

A . 62° B . 31° C . 28° D . 56°

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1. (2024九下·肇源开学考) ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）

A . 点A在⊙O上 B . 点A在⊙O内 C . 点A在⊙O外 D . 无法确定

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1. (2024九下·浙江期中) 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如：线段 $\text{[math]}$ 的最小覆盖圆是以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆；不共线三点 $\text{[math]}$ 的最小覆盖圆就是 $\text{[math]}$ 的外接圆．
1. （1）【操作探究】现有三个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形．
  ①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ $\text{[math]}$ ；
  ②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ $\text{[math]}$ ；
  ③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径．
3. （2）【延伸运用】某地有四个村庄 $\text{[math]}$ (其位置如图3所示)，现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功索最小(距离越小，所需功率越小)，请在图中画出中转站所建位置．
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1. (2024·耒阳模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高， $\text{[math]}$ ，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（）

A . 点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B . 点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C . 点A，B，D均在圆C外 D . 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上

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1. “一切为了 U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段 $\text{[math]}$ ，对于坐标平面内的一个动点 $\text{[math]}$ ，如果满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的 “ $\text{[math]}$ 点”，如图 37-2，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）线段 $\text{[math]}$ 的长为
3. （2）若线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 点”落在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，则该 “ $\text{[math]}$ 点”的坐标为
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1. (2024·张家口模拟) 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A . 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个

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1. (2024·张家口模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点，请用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ .
何羽同学的做法如下：
$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ .
又 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
下列说法正确的是（）

A . 该同学的做法只用了一次“三角形内角和定理” B . 该结论只适用于锐角三角形 C . 若把“ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点”替换为“ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外心”，该结论不变 D . 若把“ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点”替换为“ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心”，该结论不变

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1. (2024·长沙模拟) 已知四个实数 $\text{[math]}$ ，规定新运算： $\text{[math]}$ ；若一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
1. （1）下列关于 $\text{[math]}$ 的二次函数是否与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”；
  ① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）．
3. （2）已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不重合），若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
5. （3）已知二次函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”，并且二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，记抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，是否存在四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形？若存在，求此时顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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