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1. (2024·仁和模拟) 综合与实践
问题情境：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．数学实践体验课上，张老师利用几何画板将两个大小不同的正方形进行旋转变换，并提出以下问题：如图①，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 均为正方形，且点G在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 怎样的数量关系和位置关系．
1. （1）猜想定论：
  猜想题目中的问题： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；
3. （2）探索验证：
  如图②，将正方形 $\text{[math]}$ 以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使得 $\text{[math]}$ 过点B（即点B在 $\text{[math]}$ 上），此时（1）中的结论是否成立，请说明理由；
5. （3）拓展深入：
  如图③，在图②的基础上，过点A作 $\text{[math]}$ 于点H ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度．
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1. (2024·仁和模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是边 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点P、Q ，过点P作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于F ，下列结论：
① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，④若四边形 $\text{[math]}$ 的面积为4，则该正方形 $\text{[math]}$ 的面积为36，⑤ $\text{[math]}$ ．

其中正确的结论有．

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1. (2024九下·黄石月考) 综合与实践
1. （1）【思考尝试】
  数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．试猜想四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （2）【实践探究】
  小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ 于点H， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，可以用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题；
5. （3）【拓展迁移】
  小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点H，点M在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可以用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题．
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1. (2024九下·肇源开学考) 如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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1. (2024九下·麻城期中) 某校数学活动小组探究了如下数学问题：
1. （1）问题发现：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是底边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是；
3. （2）变式探究：如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是腰 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
5. （3）问题解决：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$
  是正方形 $\text{[math]}$ 两条对角线的交点，连接 $\text{[math]}$ ．若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出正方形 $\text{[math]}$ 的边长．
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1. (2024九下·麻城期中) 如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线：
3. （2）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求阴影部分面积．
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1. (2024八下·武汉期中) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 左侧一点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024八下·武汉期中) 已知点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交AE的延长线于点 $\text{[math]}$ ；
  ①如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
  ②如图2，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （2）连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
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1. (2024八下·大冶期中) 综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：
如图1，正方形纸片ABCD ，将 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE ，点B的对应点为M ，连接AM；将 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF ，将纸片展平，连接EF ．
1. （1）根据以上操作，易得点E ， M ， F三点共线，且① $\text{[math]}$ °；②线段EF ， BE ， DF之间的数量关系为．
3. （2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论 $\text{[math]}$ ，请证明该结论是否成立，并说明理由．
5. （3）【拓展应用】
  若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长．
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1. (2024八下·大冶期中) 下列命题中，假命题是（　　）

A . 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B . 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C . 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D . 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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