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1. (2024·永嘉模拟) 古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存活下来的人依次杀死相邻的下一位士兵，若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上？( )

A . 1 B . 63 C . 127 D . 31

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1. (2024高三下·江西模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a ， b的值；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
5. （3）已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明：对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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1. (2024高三下·湖南模拟) 角谷猜想，也称为“3n+1”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数 $\text{[math]}$ ，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为 $\text{[math]}$ ，实施第2次运算后的结果记为 $\text{[math]}$ ，，实施第n-1次运算后的结果记为 $\text{[math]}$ ，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，， $\text{[math]}$ ， 1，其递推关系式为： $\text{[math]}$ ，叫做数列 $\text{[math]}$ 的原始项.将此递推关系式推广为： $\text{[math]}$ ，且，其它规则不变，得到的数列记作 $\text{[math]}$ 数列，试解答以下问题：
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的项数为；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 数列的原始项 $\text{[math]}$ 的所有可能取值构成的集合；
5. （3）若对任意的 $\text{[math]}$ 数列，均有 $\text{[math]}$ ，求d的最小值.
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1. (2024高三下·沧州月考) 抽屉原则是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原则. 它有以下几个基本表现形式（下面各形式中所涉及的字母均为正整数）：
形式1：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一集合中含有 $\text{[math]}$ 个或 $\text{[math]}$ 个以上的元素.
形式3：把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一个集合中的元素个数 $\text{[math]}$ ，也必有一个集合中的元素个数 $\text{[math]}$ .（注：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数， $\text{[math]}$ 表示不小于 $\text{[math]}$ 的最小整数）. 根据上述原则形式解决下面问题：
1. （1） ①举例说明形式1；
  ②举例说明形式3，并用列举法或描述法表示相关集合.
3. （2）证明形式2；
5. （3）圆周上有2024个点，在其上任意标上 $\text{[math]}$ （每点只标一个数，不同的点标上不同的数）.
  ①从上面这2024个数中任意挑选1013个数，证明在这1013个数中一定有两个数互质；（若两个整数的公约数只有1，则这两个整数互质）
  ②证明：在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
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1. (2024高三下·河北月考) 设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系 $\text{[math]}$ ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 $\text{[math]}$ .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 $\text{[math]}$ .
例如：对于集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，存在一一对应关系 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ .
1. （1）已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否成立?请说明理由；
3. （2）证明：① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ .
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1. (2024·九江二模) 定义两个 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的第k个分量（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.如三维向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的第2分量 $\text{[math]}$ .若由 $\text{[math]}$ 维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ （T为常数）且 $\text{[math]}$ .则称A为T的完美n维向量集.
1. （1）求2的完美3维向量集；
3. （2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
5. （3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和 $\text{[math]}$ .
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1. (2024高一下·广丰开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有下界， $\text{[math]}$ 为其一个下界；类似的，若存在实数 $\text{[math]}$ ，使得对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有上界， $\text{[math]}$ 为其一个上界 $\text{[math]}$ 若函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数 $\text{[math]}$ 下列说法正确的是（）

A . 若函数 $\text{[math]}$ 在定义域上有下界，则函数 $\text{[math]}$ 有最小值 B . 若定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ 有上界，则该函数一定有下界 C . 若函数 $\text{[math]}$ 为有界函数，则函数 $\text{[math]}$ 是有界函数 D . 若函数 $\text{[math]}$ 的定义域为闭区间 $\text{[math]}$ ，则该函数是有界函数

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1. (2024高二下·长沙开学考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值的取值范围．
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1. (2024高一下·湖北月考) 设 $\text{[math]}$ ，我们常用 $\text{[math]}$ 来表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数.如： $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）解方程： $\text{[math]}$ ；
5. （3）已知 $\text{[math]}$ ，若对 $\text{[math]}$ ，使不等式 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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1. (2024·潍坊模拟) $\text{[math]}$ 世纪以前的某时期 $\text{[math]}$ 盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等 $\text{[math]}$ 罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：
例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依据此记数方法， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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