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1. (2024·台州模拟) 【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角.
1. （1）【概念理解】当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数.
3. （2）【性质探究】如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
  求证： $\text{[math]}$ .
5. （3）【拓展应用】如图2，AB是⊙O的直径，且AB=13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形.
  ①当BC=5时，求AD的长.
  ②当△BCD是和美三角形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024·温州模拟) 如图1，锐角 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于D，点F在 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，
  ①求 $\text{[math]}$ 的值；
  ②求 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3）如图2，延长AD交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·台州模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为。

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1. (2024九下·余杭月考) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的四个点，且弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，在探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
3. （2）如图2， $\text{[math]}$ 是等边三角形，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用（1）的结论，求 $\text{[math]}$ 的周长.
5. （3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
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1. (2024九下·瑞安开学考) 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与 $\text{[math]}$ 边相切于 $\text{[math]}$ 点，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 是下半圆弧上的中点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的半径和 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3） $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024九下·镇海区开学考) 已知锐角 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；
3. （2）如图，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2024九下·南山月考) 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为台面截线，半圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .水面截线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）如图（1）求水深 $\text{[math]}$ ；
3. （2）将图（1）中的老碗先沿台面 $\text{[math]}$ 向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合，求此时最高点 $\text{[math]}$ 和最低点 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时 $\text{[math]}$ ，求滚动过程中圆心 $\text{[math]}$ 运动的路径长.
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1. (2024九下·广州月考) 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点且在 $\text{[math]}$ 下方，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时；
  ①求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
  ②求 $\text{[math]}$ 的长．
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2024九下·天河月考) 已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．
1. （1）按要求尺规作图：作AD的垂直平分线(保留作图痕迹）；
3. （2）若AD的垂直平分线与AB相交于点O，以O为圆心作圆，使得圆O经过AD两点．
  ①求证：BC是⊙O的切线；②若 $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径．
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1. (2024九下·南山开学考) 综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的 $\text{[math]}$ 为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
1. （1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图 $\text{[math]}$ ，设其中心到顶点的距离是 $\text{[math]}$ ，以车轮转动一次 $\text{[math]}$ 以一个顶点为支点旋转 $\text{[math]}$ 为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ 此时中心轨迹最高点是 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ ，请在图 $\text{[math]}$ 中计算 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．
3. （2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图 $\text{[math]}$ ，设其中心到顶点的距离是 $\text{[math]}$ ，以车轮转动一次 $\text{[math]}$ 以一个顶点为支点旋转 $\text{[math]}$ 为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ 此时中心轨迹最高点是 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ ，请在图 $\text{[math]}$ 中计算 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 结果保留根号 $\text{[math]}$ ．
5. （3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图 $\text{[math]}$ ，设其中心到顶点的距离是 $\text{[math]}$ ，以车轮转动一次 $\text{[math]}$ 以一个顶点为支点旋转 $\text{[math]}$ 为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ ．此时中心轨迹最高点是 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ ，在图 $\text{[math]}$ 中计算 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 结果保留根号 $\text{[math]}$ ．
7. （4）归纳推理：比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 填“越大”或“越小” $\text{[math]}$ ．
9. （5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图 $\text{[math]}$ ，其中心 $\text{[math]}$ 即圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 这样车辆行驶平稳、没有颠簸感 $\text{[math]}$ 所以，将车轮设计成圆形．
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