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1. (2024九下·东城模拟) 小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ，击球点P到球网 $\text{[math]}$ 的水平距离 $\text{[math]}$ ．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 $\text{[math]}$ ．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下：
水平距离 $\text{[math]}$
0
1
2
3
4
飞行高度 $\text{[math]}$
1.1
1.6
1.9
2
1.9
根据上述信息，回答下列问题：
1. （1）直接写出击球点的高度；
3. （2）求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式；
5. （3）设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）．
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1. (2024·武汉模拟) 某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形 $\text{[math]}$ 为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从 $\text{[math]}$ 处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线 $\text{[math]}$ (单位长度为 $\text{[math]}$ )的一部分，且当弹珠的高度为 $\text{[math]}$ 时，对应的两个位置的水平距离为 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线L的解析式和顶点坐标．
3. （2）请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的情况下，调整 $\text{[math]}$ 的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024九下·寻乌期中) 如图，在一次足球比赛中，守门员在地面 $\text{[math]}$ 处将球踢出，一运动员在离守门员8米的 $\text{[math]}$ 处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点 $\text{[math]}$ ，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点 $\text{[math]}$ 和守门员（点 $\text{[math]}$ ）的距离；
（2）运动员（点 $\text{[math]}$ ）要抢到第二个落点 $\text{[math]}$ ，他应再向前跑多少米？（假设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一条直线上，结果保留根号）

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1. (2024九下·潍坊模拟) 某校羽毛球社团的同学们用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网 $\text{[math]}$ 与y轴的水平距离 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，击球点P在y轴上．他们用仪器收集了扣球和吊球时，羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的部分数据，并分别在直角坐标系中描出了对应的点，如下图所示．

同学们认为，可以从 $\text{[math]}$ 中选择适当的函数模型，近似的模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系．
1. （1）请从上述函数模型中，选择适当的模型分别模拟两种击球方式对应的羽毛球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）的关系，并求出函数表达式；
3. （2）请判断上面两种击球方式都能使球过网吗？如果能过，选择哪种击球方式使球的落地点到C点的距离更近；如果不能，请说明理由．
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1. (2024九下·玄武模拟) 有一种手持烟花，该烟花有10个花弹，每1秒发一发花弹，每一发花弹的飞行路径均相同 $\text{[math]}$ 第一发花弹的飞行高度 $\text{[math]}$ （米）与飞行时间 $\text{[math]}$ （秒）满足关系式： $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 秒时，该花弹的高度为 $\text{[math]}$ 米 $\text{[math]}$
（1）第一发花弹的飞行高度 $\text{[math]}$ 的最大高度是米 $\text{[math]}$
（2）第一发花弹飞行过程中与其他花弹同一高度时，其 $\text{[math]}$ 的值为．

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1. (2024九下·石阡月考) 某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上移动，从而产生一组不同的抛物线 $\text{[math]}$ （如图2）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ．
  ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度；
  ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离；
3. （2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若 $\text{[math]}$ ，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
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1. (2024九下·射阳模拟) 比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．
已知：某建筑 $\text{[math]}$ 的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离 $\text{[math]}$ 与运动时间 $\text{[math]}$ 之间的函数表达式是： $\text{[math]}$ ，在竖直方向物体的下落距离 $\text{[math]}$ 与下落时间 $\text{[math]}$ 之间的函数表达式为 $\text{[math]}$ ．以点O为坐标原点，水平向右为x轴， $\text{[math]}$ 所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线．
1. （1）求小铁球从抛出到落地所需的时间；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求小铁球P此时的坐标；
5. （3）求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
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1. (2024九下·深圳月考) 【综合与实践】
某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为原点，以直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口 $\text{[math]}$ 发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分 $\text{[math]}$ ，设乒乓球与出球口 $\text{[math]}$ 的水平距离为 $\text{[math]}$ ，到桌面的高度为 $\text{[math]}$ ，在桌面上的落点为 $\text{[math]}$ ，经测试，得到如下部分数据：
$\text{[math]}$
0
0.5
1
1.5
2
…
$\text{[math]}$
0.25
0.4
0.45
0.4
0.25
…
1. （1）当 $\text{[math]}$ __________m时，乒乓球达到最大高度；求出y与x之间的函数关系式；
3. （2）桌面正中间位置安装的球网 $\text{[math]}$ 的高度为 $\text{[math]}$ ，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）
5. （3）乒乓球落在点 $\text{[math]}$ 后随即弹起，沿抛物线 $\text{[math]}$ 的路线运动，小明拿球拍 $\text{[math]}$ 与桌面夹角为 $\text{[math]}$ 接球，球拍击球面的中心线 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，下沿 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，假设拋物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一平面内，且乒乓球落在 $\text{[math]}$ 上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
  ① $\text{[math]}$ __________．
  ②球拍到桌边的距离 $\text{[math]}$ 的取值范围__________．
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1. (2024·梅县区模拟) 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的解析式是h＝﹣5t²+30t（0≤t≤6），则小球到达最高高度时，运动的时间是（　　）

A . 1秒 B . 2秒 C . 3秒 D . 4秒

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1. (2024九下·罗山模拟) 如图1所示的藉车是中国古代一种远程火攻武器，将某加强版藉车置于山坡底部O处（原点O处），抛出物从藉车竖直方向上的点C处被抛出， $\text{[math]}$ 米，将发射出去的抛出物当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，当抛出物飞行的水平距离为50米时，达到最大高度25米．
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）为了阻挡抛出物的飞行，守城方在斜坡上的点A处建有防御工事M，其最高点B与O点的水平距离为45米，与斜坡的竖直距离 $\text{[math]}$ 米，斜坡的坡比 $\text{[math]}$ ，通过计算说明抛出物能否飞越防御工事M．
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