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1. (2024·犍为模拟)
如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．
1. （1）求证：AB与⊙O相切；
3. （2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？
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1. (2024九下·浙江模拟) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是原点．直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求这条抛物线的函数表达式．
3. （2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
  ①若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
  ②在直线 $\text{[math]}$ 上取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧，在直线的下方作正方形 $\text{[math]}$ ，求正方形与抛物线有两个交点时 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024·惠城模拟) 如图所示， $\text{[math]}$ 内接于⊙O ， AC（不是直径）与OB相交于点D ，且 $\text{[math]}$ ，过点A作⊙O的切线，交OB的延长线于点E ．
1. （1）求证：AB平分 $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AE的长．
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1. (2024·惠城模拟) 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B ， C重合）， $\text{[math]}$ 于点G ，交对角线AC于点H ，交CD于点F ．为了探究HC与BE之间的数量关系，在如图2中，作 $\text{[math]}$ ， EM交AB的延长线于点M ．
1. （1）如图2，①求证： $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）【类比迁移】如图3，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点G ，交AC于点H ，交CD于点F ．求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）【拓展应用】如图4，在等边三角形ABC中， $\text{[math]}$ ， E是DC的中点， $\text{[math]}$ ，交AE于点G ，交AC于点F ．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·兴化模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ 为切点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·广西壮族自治区模拟) 如图，在边长为3的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是 $\text{[math]}$ 边上一点，点F是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点K，过点A作 $\text{[math]}$ 于H，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024九下·南湖模拟) 如图， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作半圆，弦 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 上方的图形沿 $\text{[math]}$ 向下折叠，使弧 $\text{[math]}$ 与直径 $\text{[math]}$ 恰好相切于点 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为．

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1. (2024九下·南湖模拟) 如图，正比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点A，若菱形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ，反比例函数图象和 $\text{[math]}$ 轴上，则菱形 $\text{[math]}$ 的边长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·冠县模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线．
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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1. (2024九下·澄海模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P沿折线 $\text{[math]}$ 运动到点B，同时动点Q沿折线 $\text{[math]}$ 运动到点C，点 $\text{[math]}$ 在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒， $\text{[math]}$ 的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）

A . B . C . D .

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