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1. (2023高二下·清远期末) 某校举行了足球比赛，每个球队都和其他球队进行一场比赛，每场比赛获胜的球队得2分，失败的球队得0分，平局则双方球队各得1分，积分最高的球队获得冠军.已知有一个队得分最多(其他球队得分均低于该球队)，但该球队的胜场数比其他球队都要少，则参加比赛的球队数最少为.

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1. (2023·杭州期末) 我们把由平面内夹角成 $\text{[math]}$ 的两条数轴 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成的坐标系，称为“@未来坐标系” $\text{[math]}$ 如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 正方向上的单位向量 $\text{[math]}$ 若向量 $\text{[math]}$ ，则把实数对 $\text{[math]}$ 叫做向量 $\text{[math]}$ 的“@未来坐标”，记 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为向量 $\text{[math]}$ 的@未来坐标．
1. （1）证明： $\text{[math]}$
3. （2）若向量 $\text{[math]}$ 的“@未来坐标”分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求向量 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．
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1. (2023·杭州期末) 对于函数 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的“不动点” $\text{[math]}$ 若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的“稳定点” $\text{[math]}$ 记函数 $\text{[math]}$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经研究发现：若函数 $\text{[math]}$ 为增函数，则 $\text{[math]}$ 设函数 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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1. (2023·杭州期末) 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位” $\text{[math]}$ 密位就是圆周的 $\text{[math]}$ 所对的圆心角的大小 $\text{[math]}$ 若角 $\text{[math]}$ 密位，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. 分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如 $\text{[math]}$ 的变换，其中 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的“像”， $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的“原像”．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“像”以及 $\text{[math]}$ “原像”；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 的充要条件是 $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的“像”在复平面上所构成图形的面积．
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1. (2023高二下·高台月考) “三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一”“三分益一”.取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到 $\text{[math]}$ 弦，“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到 $\text{[math]}$ 弦.以官为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫､商､角､徵､羽，合称“五音”.已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是（）

A . 徵､商､羽､角 B . 徵､羽､商､角 C . 商､角､徵､羽 D . 角､羽､商､徵

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1. (2023·嵊州模拟) 某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列 $\text{[math]}$ ：第三行得到数列 $\text{[math]}$ ，则第5行从左数起第8个数的值为； $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 行所有项的乘积，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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1. (2023·义乌模拟) 学校举行德育知识竞赛，甲､乙､丙､丁､戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名.甲､乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙､丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”.从这个回答分析，5人的名次排列共有（）种不同的可能情况.

A . 14 B . 16 C . 18 D . 20

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1. (2023高二下·安徽期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1012 B . 1012 C . -2024 D . 2024

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1. (2023高二下·安徽期中) 传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把 $\text{[math]}$ 叫做三角形数；把 $\text{[math]}$ 叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A . 36 B . 49 C . 64 D . 81

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