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1. (2024高二下·孝感期中) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 恰有一个零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；
3. （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取 $\text{[math]}$ ，实施如下步骤：在点 $\text{[math]}$ 处作 $\text{[math]}$ 的切线，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ：在点 $\text{[math]}$ 处作 $\text{[math]}$ 的切线，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ；一直继续下去，可以得到一个数列 $\text{[math]}$ ，它的各项是 $\text{[math]}$ 不同精确度的零点近似值.
  （i）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式；
  （ii）证明：当 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ .
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1. (2024·新疆维吾尔自治区模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的极值点个数，并说明理由；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的零点，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024·新疆维吾尔自治区模拟) 过点 $\text{[math]}$ 且与曲线 $\text{[math]}$ 相切的直线方程为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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1. (2024高三下·重庆市模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为3 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上没有零点 D . 函数 $\text{[math]}$ 的极值点有2个

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1. (2024高三下·重庆市模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 存在唯一极值点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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1. (2024高三下·重庆市模拟) 重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线 $\text{[math]}$ 上的曲线段 $\text{[math]}$ ，其弧长为 $\text{[math]}$ ，当动点从A沿曲线段 $\text{[math]}$ 运动到B点时，A点的切线 $\text{[math]}$ 也随着转动到B点的切线 $\text{[math]}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $\text{[math]}$ （它等于 $\text{[math]}$ 的倾斜角与 $\text{[math]}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\text{[math]}$ 为曲线段 $\text{[math]}$ 的平均曲率；显然当B越接近A ，即 $\text{[math]}$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率计算公式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求单位圆上圆心角为 $\text{[math]}$ 的圆弧的平均曲率；
3. （2）已知函数 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 的曲率的最大值；
5. （3）已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 曲率为0时x的最小值分别为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024高三下·重庆市模拟) 三峡之巅景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
1. （1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
3. （2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B的概率为p ．
  （i）试用含m的代数式表示p；
  （ii）若一共询问了5组，用 $\text{[math]}$ 表示恰有3组被标为B的概率，试求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时m的值．
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1. (2024高三下·沧州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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1. (2024高三下·沧州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 的导函数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·南昌期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象在区间 $\text{[math]}$ 上有两个不同的交点，求k的取值范围．
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