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1. (2024·德阳) 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位： $\text{[math]}$ ）的正方形纸片 $\text{[math]}$ ，他在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别取点E和点M ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又在线段 $\text{[math]}$ 上任取一点N（点N可与端点重合），再将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠得到 $\text{[math]}$ ，随后连接 $\text{[math]}$ .小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点N在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，点 $\text{[math]}$ 在以E为圆心的圆弧上运动；
②当 $\text{[math]}$ 达到最大值时， $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离达到最大；
③ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ 达到最小值时， $\text{[math]}$ .
你认为小王同学得到的结论正确的个数是( )

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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1. (2024·德阳) 宽与长的比是 $\text{[math]}$ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 $\text{[math]}$ 是黄金矩形. $\text{[math]}$ ，点P是边 $\text{[math]}$ 上一点，则满足 $\text{[math]}$ 的点P的个数为( )

A . 3 B . 2 C . 1 D . 0

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1. (2024·遂宁) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是一条弦，点D是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 于点E ，交 $\text{[math]}$ 于点F ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）延长 $\text{[math]}$ 至点M ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .
  ①求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径.
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1. (2024·重庆) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为AB上一点， $\text{[math]}$ ，过点P作 $\text{[math]}$ 交AC于点Q点P ， Q的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长与 $\text{[math]}$ 的周长之比为 $\text{[math]}$ .
1. （1）请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
3. （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象，并分别写出函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的一条性质；
5. （3）结合函数图象，请直接写出 $\text{[math]}$ 时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
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1. (2024·重庆) 若两个相似三角形的相似比是 $\text{[math]}$ ，则这两个相似三角形的面积比是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·朔州模拟) 综合与实践
问题情景：
如图 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
猜想证明：
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，求旋转角 $\text{[math]}$ 的正切值；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 旋转到图 $\text{[math]}$ 的情况时，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系；
  拓展应用：
5. （3）在（ $\text{[math]}$ ）的条件下， $\text{[math]}$ 旋转的过程中，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．
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1. (2024九下·朔州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
3. （2）若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m．
  ①求线段 $\text{[math]}$ 的最大长度；
  ②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·朔州模拟) 如图，已知长方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 边上一点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠后，点B落在点F处， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点H，则 $\text{[math]}$ 的长是．

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1. (2024八下·泉州期末) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿DE对折至 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，给出以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中所有正确结论的个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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1. (2024九下·武清模拟) 将一个直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，其中 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，过边 $\text{[math]}$ 上的动点 $\text{[math]}$ (不与点 $\text{[math]}$ 重合)作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图①，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为_______，点 $\text{[math]}$ 的坐标为_______；
3. （2）沿着PQ折叠该纸片，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ．设折叠后的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．
  ①如图②，若折叠后的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分为四边形， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值（直接写出结果即可）．
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