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1. (2024九下·潮阳模拟) 如果 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 都不等于零），那么 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024九下·益阳模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 的长最小时， $\text{[math]}$ ．

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1. (2024九下·龙岗模拟) 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直 $\text{[math]}$ 外角角平分线于D点，过D作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 延长线于点E，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2024九下·惠城模拟) 综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据条件填空：
① $\text{[math]}$ 的度数为　　；
②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为　　；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为对角线，且满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长．

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1. (2024九下·惠城模拟) 根据以下素材，探索完成任务．

如何制作简易风筝？
素材1	图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段 $\text{[math]}$ 作为骨架， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，并按 $\text{[math]}$ 的比例固定骨架，骨架 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共消耗竹条 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
素材2	考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现 $\text{[math]}$ 以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）． $\text{[math]}$ 以下部分的蒙面设计为 $\text{[math]}$ ，点H在 $\text{[math]}$ 延长线上且 $\text{[math]}$ ．
素材3	从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括 $\text{[math]}$ 以上抛物线部分及 $\text{[math]}$ 以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）．

问题解决，完成以下任务：

（1）确定骨架长度：求骨架 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长度．
（2）确定蒙面形状：求抛物线的函数表达式．
（3）选择纸张大小：至少选择面积为多少的长方形纸片？

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1. (2024九下·惠城模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在y轴上，边 $\text{[math]}$ 与x轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图象经过点A，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024九下·惠城模拟) 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点F，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·泉港模拟) 以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．
1. （1）如图1，是一块三角形田地，数学探究小组沿着道路BC设计矩形生态农业观光园，观光园的顶点P、F分别在边AB、AC上．
  ①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出矩形生态农业观光园PN边的长；
  ②设 $\text{[math]}$ ，点A到道路BC的距离为h，矩形观光园PEFN的面积是否存在最大值？若存在，请用含a，h的代数式表示其最大面积；若不存在，请说明理由．
3. （2）如图2，是一块四边形ABCD的田地，已知 $\text{[math]}$ ．经数学探究小组测量得， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．数学探究小组在四边形ABCD田地设计了一个点E、F在BC边上且面积最大的矩形生态农业观光园PEFN，试求该矩形PEFN的面积．
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1. (2024九下·罗湖模拟) 如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转 $\text{[math]}$ 至水平状态 $\text{[math]}$ ，投影杆 $\text{[math]}$ 可绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转合适角度 $\text{[math]}$ ，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 位置，点 $\text{[math]}$ 竖直上升 $\text{[math]}$ ，投射线 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 完全打开至 $\text{[math]}$ 位置 $\text{[math]}$ 时，地面 $\text{[math]}$ 被投射到的区域宽度 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （相关数据如图2所示）．

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1. (2024九下·罗湖模拟) 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面 $\text{[math]}$ 垂直放置，其中 $\text{[math]}$ 与“0”刻度线重合， $\text{[math]}$ 点落在“3”刻度线上， $\text{[math]}$ 与“5”刻度线重合，若测得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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