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1. (2024·重庆) 在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
1. （1）如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点.用尺规过点O作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交AB ， CD于点E ， F ，连接AF ， CE（不写作法，保留作图痕迹）.
3. （2）已知：矩形 $\text{[math]}$ ，点E ， F分别在AB ， CD上，E ， F经过对角线 $\text{[math]}$ 的中点O ，且 $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.
  证明： $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ 点O是 $\text{[math]}$ 的中点，
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$
  又 $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.
  $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.
  进一步思考，如果四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：_.
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1. (2024·重庆) 计算：
1. （1） $\text{[math]}$
3. （2） $\text{[math]}$ .
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1. (2024·重庆) 若关于x的不等式组 $\text{[math]}$ 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\text{[math]}$ 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为.

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1. (2024·重庆) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，延长AC至点D ，使 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接AE交BC于点F.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则BF_.

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1. (2024·重庆) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 的边CD上有一点E ，连接AE ，把AE绕点E逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到FE ，连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则 $\text{[math]}$ 的值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·重庆) 已知 $\text{[math]}$ ，则实数m的范围是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·重庆) 计算： $\text{[math]}$ ＝．

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1. (2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ， ∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作 $\text{[math]}$ 交AB于点E ，以点B为圆心，以BE为半径作 $\text{[math]}$ 所交BC于点F ，连接FD交 $\text{[math]}$ 于另一点G ，连接CG ．
1. （1）求证：CG为 $\text{[math]}$ 所在圆的切线；
3. （2）求图中阴影部分面积．（结果保留π）
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1. (2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营) 【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B ．测量A ， B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA ，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
1. （1）【问题解决】计算A ， P两点间的距离．
  （参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
3. （2）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
  如图2，选择合适的点D ， E ， F ，使得A ， D ， E在同一条直线上，且AD＝DE ， ∠DEF＝∠DAP ，当F ， D ， P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
  乙小组的方案用到了．（填写正确答案的序号）
  ①解直角三角形
  ②三角形全等
  【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
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1. (2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营) 如图，已知∠MAN ，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B ， C；分别以B ， C为圆心，以大于 $\text{[math]}$ BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P ，作射线AP ．分别以A ， B为圆心，以大于 $\text{[math]}$ AB的长为半径作弧，两弧相交于点D ， E ，作直线DE分别与AB ， AP相交于点F ， Q ．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为．

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