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1. (2024九下·浙江期中) 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如：线段 $\text{[math]}$ 的最小覆盖圆是以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆；不共线三点 $\text{[math]}$ 的最小覆盖圆就是 $\text{[math]}$ 的外接圆．
1. （1）【操作探究】现有三个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形．
  ①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ $\text{[math]}$ ；
  ②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ $\text{[math]}$ ；
  ③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径．
3. （2）【延伸运用】某地有四个村庄 $\text{[math]}$ (其位置如图3所示)，现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功索最小(距离越小，所需功率越小)，请在图中画出中转站所建位置．
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1. (2024·耒阳模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高， $\text{[math]}$ ，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（）

A . 点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B . 点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C . 点A，B，D均在圆C外 D . 点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上

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1. “一切为了 U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段 $\text{[math]}$ ，对于坐标平面内的一个动点 $\text{[math]}$ ，如果满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的 “ $\text{[math]}$ 点”，如图 37-2，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）线段 $\text{[math]}$ 的长为
3. （2）若线段 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 点”落在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，则该 “ $\text{[math]}$ 点”的坐标为
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1. 如图 25-10，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条切线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为切点，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．给出四种说法： ① $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ； ③ 四边形 $\text{[math]}$ 有外接圆； ④ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心．其中正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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1. 主要概念：
1. （1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形叫做圆，叫做圆心，叫做圆的半径．以点 $\text{[math]}$ 为圆心的圆，记做．能够互相重合的两个圆叫等圆，相等的两个圆是等圆．
3. （2）弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做，简称弧．连结圆上任意两点的叫做弦．经过的弦叫做直径，直径是圆中的弦．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫
5. （3）与圆有关的角：
  ①圆心角：顶点在的角叫做圆心角，圆心角的度数等于的度数．
  ②圆周角：顶点在，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
7. （4）三角形的外心：三角形的圆心叫做三角形的外心．外心也是三角形三边的交点．
9. （5）圆的内接四边形：如果一个四边形的在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的．圆的内接四边形的对角，并且任何一个外角都等于它的内对角．
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1. (2024九下·浙江模拟) 已知△ABC的外接圆的半径为6，若∠A＝45°，∠B＝30°，则AB的长为．

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1. (2024九下·浙江会考) 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的内心与外心之间的距离是．

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1. (2024·张家口模拟) 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A . 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个

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1. (2024·张家口模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点，请用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ .
何羽同学的做法如下：
$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ .
又 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
下列说法正确的是（）

A . 该同学的做法只用了一次“三角形内角和定理” B . 该结论只适用于锐角三角形 C . 若把“ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点”替换为“ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外心”，该结论不变 D . 若把“ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点”替换为“ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内心”，该结论不变

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1. (2024·长沙模拟) 已知四个实数 $\text{[math]}$ ，规定新运算： $\text{[math]}$ ；若一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
1. （1）下列关于 $\text{[math]}$ 的二次函数是否与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”；
  ① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）．
3. （2）已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不重合），若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
5. （3）已知二次函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”，并且二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，记抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，是否存在四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形？若存在，求此时顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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