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1. (2024九下·高州模拟) 如图（1），抛物线y＝a（x+2）（x－8）（a＜0）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，若△ABC的面积为20．
（1）求a的值，并判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由；
（2）如图（2）将△ABC沿x轴翻折，点C的对称点是点D，若点P是抛物线在第一象限图像上的一个动点，设点P的横坐标为m，连接AP、DP，求当m为何值时，△ADP的面积最大；
（3）若点Q是上述抛物线上一点，且满足∠ABQ=2∠ABC，求满足条件的点Q的坐标．

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1. (2024九下·潮阳模拟) 如图，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
  ①连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
  ②点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·罗湖模拟) 请阅读信息，并解决问题：

问题	芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息	深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息	如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 位于线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．一根琴弦固定在拱的对称轴 $\text{[math]}$ 处，其余16根琴弦对称固定在 $\text{[math]}$ 两侧，每侧各8根．记离拱端 $\text{[math]}$ 最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根， $\text{[math]}$ 为第9根， $\text{[math]}$
测量数据	测得上桥起点 $\text{[math]}$ 与拱端 $\text{[math]}$ 水平距离为20米，最靠近拱端 $\text{[math]}$ 的“琴弦” $\text{[math]}$ 高9米， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为 $\text{[math]}$ 米．
解决问题	任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
	任务2：求琴弦 $\text{[math]}$ 与拱端 $\text{[math]}$ 的水平距离 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的值．
	任务3：若需要在琴弦 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间垂直安装一个如图所示高为 $\text{[math]}$ 的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面 $\text{[math]}$ 上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？

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1. (2024九下·东莞模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， D为第一象限的抛物线上一点
1. （1）求抛物线的函数表达式；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
5. （3）过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为点E，求线段 $\text{[math]}$ 长的取值范围；
7. （4）若点F为 $\text{[math]}$ ，点G为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，直接写出D的坐标；
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1. (2024·临安模拟) 如图，小车从点A出发，沿与水平面成 $\text{[math]}$ 角光滑斜坡 $\text{[math]}$ 下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面 $\text{[math]}$ 的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系： $\text{[math]}$ ，高度h与时间t满足关系： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面 $\text{[math]}$ 的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．
1. （1）当小车出发点A离水平地面 $\text{[math]}$ 的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？
3. （2）小车继续在粗糙的水平地面 $\text{[math]}$ 上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面 $\text{[math]}$ 上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， a是常数），当 $\text{[math]}$ （厘米/秒）时， $\text{[math]}$ （厘米）， $\text{[math]}$ （秒）．如果把小车出发点A离水平地面 $\text{[math]}$ 的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间 $\text{[math]}$ 秒时，小车在水平地面 $\text{[math]}$ 上滑行的距离为多少？
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1. (2024九下·平顶山模拟) 小明发现有一处隧道的截面由抛物线的一部分和矩形构成，他对此展开研究：测得矩形的宽为 $\text{[math]}$ ，长为 $\text{[math]}$ ，最高处点P到地面的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示抛物线上任一点到地面 $\text{[math]}$ 的高度， $\text{[math]}$ 表示抛物线上任一点到隧道一边 $\text{[math]}$ 的距离．
1. （1）求抛物线的解析式．
3. （2）为了保障货车在道路上的通行能力及行车安全，根据我国交通运输部的相关规定，普通货车的宽度应在 $\text{[math]}$ 之间，高度应在 $\text{[math]}$ 之间，小明发现隧道为单行道，一货车 $\text{[math]}$ 沿隧道中线行驶，宽 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，货车的最高处与隧道上部的竖直距离 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，通过计算，判断这辆货车的高度是否符合规定．
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1. (2024九下·平顶山模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，若点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，则下列结论：①点B的坐标为 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ ，其中正确的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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1. (2024九下·武昌模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于点 $\text{[math]}$ ，过B，C两点的抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
1. （1）求该抛物线的解析式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，在抛物线上存在点E，使 $\text{[math]}$ 的面积有最大值，求点E坐标
5. （3）连接 $\text{[math]}$ ，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
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1. (2024九下·武昌模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 图象如图所示，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④点 $\text{[math]}$ 都在抛物线上，则有 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（填写正确的序号）

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1. (2024九下·罗湖模拟) 【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高 $\text{[math]}$ 为1.5米．
任务1   求第一次大喊时泉水所能达到的高度 $\text{[math]}$ 的值．（仅结果保留整数）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（ $\text{[math]}$ ）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2   根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒）
0
1.5
1.75
2
2.25
2.5
响度x（分贝）
0
36
49
64
81
100
任务3   为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式．
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4   试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．

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时间t（秒）	0	1.5	1.75	2	2.25	2.5
响度x（分贝）	0	36	49	64	81	100