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1. (2024·津市市模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 为菱形时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·常德模拟) “板车”具有悠久的历史，是上世纪 $\text{[math]}$ 年代以前农村主要运输及交通工具，在农村发展，甚至城下建设过程中，曾发挥过重要的作用 $\text{[math]}$ 如图是板车侧面部分的示意图 $\text{[math]}$ 是车轮 $\text{[math]}$ 的直径，过圆心 $\text{[math]}$ 的车架 $\text{[math]}$ 一端点 $\text{[math]}$ 着地时，地面 $\text{[math]}$ 与车轮 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·武汉模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积．
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1. (2024·阳新模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F.
1. （1）求证：BC是⊙O的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求阴影部分的面积.
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1. (2024·宣恩模拟) 已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，若BD是⊙O的直径，AC平分∠BCD，过A作∠BAE＝∠BDA，AE与CB的延长线交于点E．
1. （1）求证：AE是⊙O的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留 $\text{[math]}$ ）．
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1. (2024·江汉模拟) 木匠师傅用长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，有如下两种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线 $\text{[math]}$ 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆．则方案二比方案一的半径大（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·深圳模拟) 如图，以 $\text{[math]}$ 的边AB为直径作 $\text{[math]}$ 分别交AC ， BC于点D ， E ，过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为F ， EF与AB的延长线交于点G ．
1. （1）以下条件：
  ①E是劣弧BD的中点：
  ② $\text{[math]}$ ；
  ③ $\text{[math]}$ ．
  请从中选择一个能证明EF是 $\text{[math]}$ 的切线的条件，并写出证明过程：
3. （2）若EF是是 $\text{[math]}$ 的切线，且 $\text{[math]}$ ，求BG的长．
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1. (2024九下·汕头月考) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E、作OF⊥AC于点F，DG⊥AC于点G.
1. （1）求证：DG是⊙O的切线，
3. （2）已知DG=3，EG=l，求⊙O的半径，
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1. (2024九下·岳池月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线．
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求：
  ① $\text{[math]}$ 的值；
  ②线段 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·河北模拟) 对于题目“已知 $\text{[math]}$ 及圆外一点P ，如何过点P作出 $\text{[math]}$ 的切线？”甲、乙的作法如图：
甲的作法
连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点G ，以点G为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧交 $\text{[math]}$ 于M ，作直线 $\text{[math]}$ ．直线．即为所求．
乙的作法
连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于B ， C两点，分别，以P ， O为圆心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧交于点D ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点M ，作直线 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 即为所求．
下列说法正确的是（）

A . 甲和乙的作法都正确 B . 甲和乙的作法都错误 C . 甲的作法正确，乙的作法错误 D . 乙的作法正确，甲的作法错误

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