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1. (2024九下·中山模拟) 如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比 $\text{[math]}$ ；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为 $\text{[math]}$ ，则眼梢到鼻翼的距离为 $\text{[math]}$ ．（ $\text{[math]}$ ，结果保留两位小数）

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1. (2024九下·临潼模拟) 宽与长的比是黄金分割数 $\text{[math]}$ 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 是黄金矩形，若长 $\text{[math]}$ 则该矩形 $\text{[math]}$ 的面积为．(结果保留根号)

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1. (2024九下·姜堰模拟) 已知点P是线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．（结果保留根号）

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1. (2024九下·姜堰模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024九下·沅江模拟) 如图，乐器上的一根弦 $\text{[math]}$ ，两个端点 $\text{[math]}$ 固定在乐器面板上，支撑点 $\text{[math]}$ 是靠近点 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，支撑点 $\text{[math]}$ 是靠近点 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，则点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离为．（结果保留根号）

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1. (2024九下·四会模拟) 如图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：（1）眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；（2）眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此长度为a），眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b，a与b的比例为黄金分割比 $\text{[math]}$ ；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上．某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为 $\text{[math]}$ ，则眼梢到鼻翼的距离为 $\text{[math]}$ ．（ $\text{[math]}$ ，结果保留两位小数）

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1. (2024八下·北流期中) 阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
1. （1）如图，点C把线段AB分成两部分，如果 $\text{[math]}$ ，那么称点C为线段AB的黄金分割点．在图中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．（保留根号）
3. （2）宽与长的比是 $\text{[math]}$ （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示： $\text{[math]}$ ）
  第一步在矩形纸片一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
  第二步如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
  第三步如图3，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB折到图中所示的AD处．
  第四步展平纸片，按照所得的点D折出DE ，使 $\text{[math]}$ ，则图4中就会出现黄金矩形．
  问题解决：
  ①图3中 $\text{[math]}$ ▲ ；（保留根号）
  ②请写出图4中所有的黄金矩形，并证明；
  ③请结合图4，在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并证明．
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1. (2024九下·光山模拟) 黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的 $\text{[math]}$ 倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形 $\text{[math]}$ 框住整个蜗牛壳，之后作正方形 $\text{[math]}$ ，得到黄金矩形 $\text{[math]}$ ，再作正方形 $\text{[math]}$ ，得到黄金矩形 $\text{[math]}$ ……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知 $\text{[math]}$ ，则阴影部分的面积为．

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1. (2024九下·宁德模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024·沅江三模) 建于清咸丰四年的龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度，如图，小豫站在龙角塔 $\text{[math]}$ 旁的水平地面上 $\text{[math]}$ 处，小宛在 $\text{[math]}$ 之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点 $\text{[math]}$ 时，小豫刚好在平面境内看到龙角塔顶端 $\text{[math]}$ ，此时测得 $\text{[math]}$ 米，小豫眼睛距地面高度 $\text{[math]}$ 米；然后小宛沿 $\text{[math]}$ 前进至点 $\text{[math]}$ 处用测角仪测得龙角塔顶端 $\text{[math]}$ 处的仰角 $\text{[math]}$ ，已知测角仪 $\text{[math]}$ 高度为 $\text{[math]}$ 米，小宛行走的距离 $\text{[math]}$ 米，点 $\text{[math]}$ 在同一水平线上， $\text{[math]}$ 都垂直 $\text{[math]}$ ．请你根据以上信息．求龙角塔的高（ $\text{[math]}$ 的长）（结果精确到1米，参考数据： $\text{[math]}$ ）．

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