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1. (2024九下·汕头模拟) 如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ 与点B，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴．
1. （1）求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的表达式，并求出点D的坐标；
3. （2）如图所示，若点M是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点H，过点M作x轴的平行线，交直线 $\text{[math]}$ 于点G，设点M的横坐标为m．
  ①求用含m的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长；
  ②求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2024九下·南山模拟) 【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约 $\text{[math]}$ 的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．

（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，喷射角 $\text{[math]}$ ，地面有效保护直径 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，喷嘴O距离地面的高度 $\text{[math]}$ 为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形 $\text{[math]}$ ，创新小组以点O为坐标原点，墙面 $\text{[math]}$ 所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，水喷射到墙面D处，且 $\text{[math]}$ 米．

①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径 $\text{[math]}$ 为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度 $\text{[math]}$ 为7米，电动车电池的离地高度为 $\text{[math]}$ 米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线 $\text{[math]}$ 上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．

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1. (2024九下·齐齐哈尔模拟) 综合与探究
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x 轴相交于A，B两点（点A 在点B 的左侧），顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，动点 P在抛物线上
1. （1）求这条抛物线对应的函数表达式；
3. （2）直线l交x轴于点C，则点C的坐标为．
5. （3）设点P的横坐标为m，当 $\text{[math]}$ 时，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
7. （4）设直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，点G为点E 关于x轴的对称点，请探索四边形 $\text{[math]}$ 的面积是否随着点P的运动而发生变化？若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
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1. (2024九下·鱼台模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由．
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1. (2024九下·和顺模拟) 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．
1. （1）求拋物线的函数表达式及点 $\text{[math]}$ 的坐标．
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的值和点 $\text{[math]}$ 的坐标．
5. （3） $\text{[math]}$ 是第四象限内拋物线上的动点，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的三等分点时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，是否存在 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·湖里模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交y轴于点C，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．点D在该抛物线上，过点D作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点E，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．设点D横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a，b的值；
3. （2）当点D在第一象限时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 时，求m的值．
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1. (2024九下·海口模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为y轴右侧抛物线上一动点．
1. （1）求该抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （2）如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
  ①当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方时，求线段 $\text{[math]}$ 的最大值；
  ②连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）点 $\text{[math]}$ 在运动过程中，在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形相似（其中点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 相对应），若存在，求出点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·成都模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式．
3. （2）点P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点Q，交线段 $\text{[math]}$ 于点E，点F是直线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长最大值．
5. （3）如图2，已知 $\text{[math]}$ ，将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线 $\text{[math]}$ 交于点N，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出抛物线的平移距离d的值．
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1. (2024九下·大同模拟) 综合与探究
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与 $\text{[math]}$ 重合），直线 $\text{[math]}$ 是抛物线的对称轴，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式及直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式．
3. （2）当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 右侧的线段部分上运动时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，分别过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 周长的最大值．
5. （3）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，平面内是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标．若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·冷水滩模拟) 如图①，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的表达式；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上第一象限内的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 倍时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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