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1. (2024九下·渠县模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则k的值为．

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1. (2024九下·蚌山模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为轴进行翻折，得到 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点 D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·惠阳模拟) 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0， $\text{[math]}$ ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ $\text{[math]}$ 上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\text{[math]}$ ，例如，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x² ，其焦点坐标为F（0， $\text{[math]}$ ），准线方程为l：y＝﹣ $\text{[math]}$ ．其中MF=MN，FH=2OH=1．
1. （1）【基础训练】
  请分别直接写出抛物线y＝2x²的焦点坐标和准线l的方程：　　，　　．
3. （2）【技能训练】
  如图2所示，已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
5. （3）【能力提升】
  如图3所示，已知过抛物线y＝ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
7. （4）【拓展升华】
  古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．后人把 $\text{[math]}$ 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
  如图4所示，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 时，请直接写出△HME的面积值．
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1. (2024九下·响水模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，F是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 4 B . 6 C . 8 D . 10

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1. (2024九下·英德模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴相交于点C，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点（不与A、C重合），连接 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）已知点E的坐标为 $\text{[math]}$ ，过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形，请直接写出满足条件的所有直线的解析式．
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1. (2024九下·英德模拟) 如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺 $\text{[math]}$ 处，遮光板在刻度尺 $\text{[math]}$ 处，光屏在刻度尺 $\text{[math]}$ 处，量得像高 $\text{[math]}$ ，则蜡烛的长为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·苏州模拟) 已知一个直角三角形纸片 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 $\text{[math]}$ 交于点C，与边 $\text{[math]}$ 交于点D．
1. （1）若折叠后点B与点A重合，求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （2）若折叠后点B落在边 $\text{[math]}$ 上的点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的取值范围；
5. （3）若折叠后点B落在边 $\text{[math]}$ 上的点为 $\text{[math]}$ ，且使 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为_____．（请直接在答题卷相应位置上写出答案）
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1. (2024九下·东河模拟) 如图．在菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论：①四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形 ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．

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1. (2024九下·东河模拟) 如图，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 平移得到线段 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标是．

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1. (2024九下·东河模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
5. （3）在抛物线上是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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