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1. (2024·义乌模拟)

草莓种植大棚的设计
生活背景	草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型	$\text{[math]}$ 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线 $\text{[math]}$ ，其中点P为抛物线的顶点，大棚高 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ．现以点O为坐标原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴，过点O且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．图1
解决问题	$\text{[math]}$ 如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中 $\text{[math]}$ ．求门高 $\text{[math]}$ 的值． $\text{[math]}$ 若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的长．图2

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1. (2024九下·贺州模拟) 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 $\text{[math]}$ ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 $\text{[math]}$ ，拱高 $\text{[math]}$ ．其中，点N在x轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
方案二，抛物线型拱门的跨度 $\text{[math]}$ ，拱高 $\text{[math]}$ ．其中，点 $\text{[math]}$ 在x轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
要在拱门中设置高为 $\text{[math]}$ 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，点A、D在抛物线上，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上；方案二中，矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．现知，小华已正确求出方案二中，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
1. （1）求方案一中抛物线的函数表达式；
3. （2）在方案一中，当 $\text{[math]}$ 时，求矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 并比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小．
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1. (2024八下·温州期中) 综合与实践：

如何改造儿童友好公园？
素材1	在一块长与宽之比为 $\text{[math]}$ 的长方形场地 $\text{[math]}$ 上，有两条宽度都为4米的通道（阴影部分）栽种花草（如图1）．剩余空地面积为场地 $\text{[math]}$ 面积的一半．
素材2	为了在该场地安装大型儿童游乐设施，需将场地改造为图2方案．已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，阴影部分区域栽种花草，长方形空地 $\text{[math]}$ 安装游乐设施．
问题解决
目标1	确定场地尺寸	求长方形 $\text{[math]}$ 的长和宽．
目标2	确定改造方案1	若剩余空地面积为场地 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数，请你设计一种方案： $\text{[math]}$ ________米， $\text{[math]}$ ________米．
目标2	确定改造方案2	若 $\text{[math]}$ 比 $\text{[math]}$ 大8米，求长方形空地 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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1. (2024·绵阳模拟) 如图，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²+bx+c过点A（2，0）和B（3，3）.
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）点M在第二象限的抛物线上，且∠MBO＝∠ABO.
  ①直线BM交x轴于点N，求线段ON的长；
  
  ②延长BO交抛物线于点C，点P是平面内一点，连接PC、OP，当△POC∽△MOB时，请直接写出点P的坐标.
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1. (2024九下·苍梧模拟) 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2， $\text{[math]}$ 款帐篷搭建时张开的宽度 $\text{[math]}$ ，顶部高度 $\text{[math]}$ ．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入 $\text{[math]}$ 款帐篷后的简易视图，椅子高度 $\text{[math]}$ ，宽度 $\text{[math]}$ ，若在帐篷内沿 $\text{[math]}$ 方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的椅子．设其拋物线型支架的形状值为 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

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1. (2024九下·汇川模拟) 下面的问题中有两个变量：
①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

A . ①② B . ① C . ② D . ①②均不是

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1. (2024·贵州模拟) 某公司生产 $\text{[math]}$ 种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是 $\text{[math]}$ 万元，产品的年销售量将是原销售量的 $\text{[math]}$ 倍，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：
$\text{[math]}$ （万元）
0
0.5
1
1.5
2
…
$\text{[math]}$
1
1.275
1.5
1.675
1.8
…
1. （1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
3. （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润 $\text{[math]}$ （万元）与广告费用 $\text{[math]}$ （万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？
5. （3）如果公司希望年利润 $\text{[math]}$ （万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
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1. (2024九下·钦州模拟) 问题探究
（1）如图1，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为边 $\text{[math]}$ 的中点，Q为边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
问题解决
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形 $\text{[math]}$ 休闲广场， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．按照规划要求，点P、Q分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ 米，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为健身休闲区，其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此要求修建的这个健身休闲区（ $\text{[math]}$ ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．

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1. (2024·防城模拟) 如图1，长方形 $\text{[math]}$ 中，宽 $\text{[math]}$ 为4，点 $\text{[math]}$ 沿着四边按 $\text{[math]}$ 方向运动，开始以每秒 $\text{[math]}$ 个单位匀速运动， $\text{[math]}$ 秒后变为每秒2个单位匀速运动， $\text{[math]}$ 秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 与运动时间 $\text{[math]}$ 的关系如图2所示．
图1 图2
1. （1）直接写出长方形的长为；
3. （2）直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
5. （3）当点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 中点时，有一动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系式．
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1. (2024·顺城模拟) 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点 $\text{[math]}$ 处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为 $\text{[math]}$ ，落在x轴上的点C处．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）某市男子实心球的得分标准如表：
  得分
  100
  95
  90
  85
  80
  76
  70
  66
  60
  50
  40
  30
  20
  10
  掷远（米）
  12.4
  11.2
  9.6
  9.1
  8.4
  7.8
  7.0
  6.5
  5.3
  5.0
  4.6
  4.2
  3.6
  3.0
  请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
5. （3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由．
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