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1. (2024·巴中模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点D、E ，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·巴中模拟) 如图，点A ， B分别在反比例函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·南城模拟) 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按图2所示方式摆放，其中点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合（标记为点 $\text{[math]}$ ）．当 $\text{[math]}$ 时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．
1. （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
3. （2）深入探究：老师将图2中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 内部，并让同学们提出新的问题．
  
  
  ①“善思小组”提出问题：如图3，当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．试猜想线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
  
  
  
  ②“智慧小组”提出问题：如图4，当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．请你思考此问题，直接写出结果．
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1. (2024·绵阳模拟) 如图，已知：在△ABC中， $\text{[math]}$ ，点P是BC边上的动点. $\text{[math]}$ 交AB于D.以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①当 $\text{[math]}$ ，求PC的长.
  
  ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长.
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为.
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1. (2024九下·浙江模拟) 如图，点D，E，F分别在 $\text{[math]}$ 的边上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点N，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·浙江模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以其三边为边在 $\text{[math]}$ 的同侧作三个正方形，点F在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点Q．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积是．

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1. (2024九下·自贡期中) 如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE.
1. （1）求证：AB是⊙O的切线；
3. （2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；
5. （3）求证： $\text{[math]}$ ＝CD•CA.
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1. (2024九下·吉安期中) 如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为 $\text{[math]}$ 的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
1. （1）求证：CD是⊙O的切线；
3. （2）若DE=1，DC=2，求⊙ $\text{[math]}$ 的半径长．
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1. (2024·台州模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边向三角形外作正方形 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交对角线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．要求 $\text{[math]}$ 的周长，只需要知道（）

A . 线段 $\text{[math]}$ 的长度 B . 线段 $\text{[math]}$ 的长度 C . 线段 $\text{[math]}$ 的长度 D . 线段 $\text{[math]}$ 的长度

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1. (2024·威远模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线l交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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