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1. (2024八下·桥西期中) 如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（）

A . 100° B . 95° C . 90° D . 50°

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1. (2024九下·阳春模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆，其半径为4．过点B作 $\text{[math]}$ 于点E，点P为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（点P不与B，E重合），则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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1. (2024·新乐模拟)
已知I是 $\text{[math]}$ 的内心，AI的延长线交 $\text{[math]}$ 的外接圆于点D ，连接DC ， DB ．
1. （1）在图1中：①证明： $\text{[math]}$ ；②判断 $\text{[math]}$ 外心的位置，并证明；
3. （2）如图2，若AB为 $\text{[math]}$ 的外接圆直径，取AB中点O ，且 $\text{[math]}$ 于点I ， DE切圆O于点D ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·云梦模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系和数量关系，并证明；
3. （2）将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）；
  ①在（1）中线段 $\text{[math]}$ 的位置关系和数量关系是否依然成立？请证明你的结论；
  ②若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024·叙州模拟) 如图， $\text{[math]}$ 内接于圆， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ （）

A . 62° B . 31° C . 28° D . 56°

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1. (2024·叙州模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 交于点P ，过点P作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，
下列四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确结论有．

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1. (2024九下·杭州月考) 如图
1. （1）问题提出
  如图①，在 $\text{[math]}$ 中，AB=AC=10，BC=12，点O是 $\text{[math]}$ 的外接圆的圆心。求OB 的长，
3. （2）问题探究
  如图②，已知矩形ABCD，AB=4，AD=6，点E为AD的中.，以BC为直径作半圆O，点Р为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离
5. （3）问题解决
  某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形BCD和弦CB与其所对的劣场地组成的，果园主人现要从入口D到 $\text{[math]}$ 的一点Р修建一条笔直的小路 DP、已知AD∥BC，∠ADB=45 °. BD= 120 $\text{[math]}$ 米，BC=160米，过弦BC的中点E作 EF⊥BC交 $\text{[math]}$ 于点F，又测得EF=40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
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1. (2024九下·江夏月考) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 上总存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. 求如图正方形的内切圆与外接圆的半径之比.

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1. (2024九下·浙江期中) 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如：线段 $\text{[math]}$ 的最小覆盖圆是以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆；不共线三点 $\text{[math]}$ 的最小覆盖圆就是 $\text{[math]}$ 的外接圆．
1. （1）【操作探究】现有三个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形．
  ①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ $\text{[math]}$ ；
  ②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为 ▲ $\text{[math]}$ ；
  ③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径．
3. （2）【延伸运用】某地有四个村庄 $\text{[math]}$ (其位置如图3所示)，现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功索最小(距离越小，所需功率越小)，请在图中画出中转站所建位置．
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