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1. (2024九下·西安模拟) 陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶 $\text{[math]}$ 流下，呈抛物线型落到院中地面上 $\text{[math]}$ 点．以地面为 $\text{[math]}$ 轴，过点 $\text{[math]}$ 且垂直于地面的直线为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数 $\text{[math]}$ 的部分图象．已知屋檐 $\text{[math]}$ 高为 $\text{[math]}$ ，雨水落点距屋檐的水平距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该二次函数的表达式；
3. （2）若墙面与屋檐下端 $\text{[math]}$ 的水平距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，现计划在院中安装一个高为 $\text{[math]}$ 的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离．
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1. (2024九下·东港模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （b，c是常数）与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．
1. （1）直接写出b，c的值；
3. （2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作 $\text{[math]}$ ，交直线l于点D．若 $\text{[math]}$ ，求m的值；
5. （3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．
  ①求d关于m的函数解析式；
  ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
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1. (2024九下·蚌山模拟) 在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量 $\text{[math]}$ （单位：袋）与销售单价 $\text{[math]}$ （单位：元/袋）的函数关系为 $\text{[math]}$ ，乙种有机产品每天的销量 $\text{[math]}$ （单位：袋）与销售单价 $\text{[math]}$ （单位：元/袋）的函数关系为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元．
1. （1）当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？
3. （2）当乙种有机产品的销售单价 $\text{[math]}$ 为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？
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1. (2024九下·沂源模拟) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A、B两点，其中A在B的左侧， $\text{[math]}$ ；与y轴的正半轴交于点C；与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象交于A、D两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求b的值；
3. （2）求二次函数的关系式；
5. （3）在抛物线上是否存在点P，使得以P为圆心的圆与直线 $\text{[math]}$ 和x轴都相切？若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·榕城模拟) 定义：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，当点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 的内部，或在图形 $\text{[math]}$ 上，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标和纵坐标相等时，则称点 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 的“梦之点”．
1. （1）如图①，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，是矩形 $\text{[math]}$ “梦之点”的是；
3. （2）如图②，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的“梦之点”，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点．连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
5. （3）在（2）的条件下，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点，点 $\text{[math]}$ 为平面内一点，是否存在点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 为对角线，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 点坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·兰山模拟) “口袋公园”建设是临沂市重点民生工程，随着“口袋公园”建设的不断推进，建设人民群众家门口的公园，已逐步成为现实．某口袋公园中引入了自动喷灌系统，图1是该公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图．
1. （1）喷水口A离地高度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，喷出的水柱在离喷水口水平距离为 $\text{[math]}$ 处达到最高，高度为 $\text{[math]}$ ，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处．
  ①以O为原点， $\text{[math]}$ 为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
  ②求喷灌器底端O到点B的距离；
3. （2）在（1）的条件下，现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形 $\text{[math]}$ （如图3），其中高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．宽CB为 $\text{[math]}$ ．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高 $\text{[math]}$ ，使水柱经过 $\text{[math]}$ 上一点（包含D，E两点），现在已经计算出喷出的水柱恰好经过点D时 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ ，请你求h的取值范围．
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1. (2024九下·东港模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，结合图象给出下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④方程 $\text{[math]}$ 的两根和为1；⑤若 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则方程 $\text{[math]}$ 的两根 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ；其中正确结论有（）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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1. (2024九下·乌兰察布模拟) 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线解析式和 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）如图1，点 $\text{[math]}$ 为第一象限抛物线上的点，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
5. （3）如图2，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴负半轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024九下·渠县模拟) 如图，函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，请思考下列判断：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．正确的结论有（　　）个．

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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1. (2024九下·枣庄模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴的一个交点坐标为 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，下列结论中：① $\text{[math]}$ ；②若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在该二次函数图象上，则 $\text{[math]}$ ；③方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ 为任意实数，则 $\text{[math]}$ ．正确结论的序号为（）

A . ①②④ B . ①③④ C . ②③④ D . ①③

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