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1. (2024·莘县模拟) 已知如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式；
3. （2）在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上，是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？
5. （3）点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成矩形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．
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1. (2024·义乌模拟)

草莓种植大棚的设计
生活背景	草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型	$\text{[math]}$ 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线 $\text{[math]}$ ，其中点P为抛物线的顶点，大棚高 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ ．现以点O为坐标原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴，过点O且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．图1
解决问题	$\text{[math]}$ 如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中 $\text{[math]}$ ．求门高 $\text{[math]}$ 的值． $\text{[math]}$ 若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的长．图2

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1. (2024九下·贺州模拟) 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 $\text{[math]}$ ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 $\text{[math]}$ ，拱高 $\text{[math]}$ ．其中，点N在x轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
方案二，抛物线型拱门的跨度 $\text{[math]}$ ，拱高 $\text{[math]}$ ．其中，点 $\text{[math]}$ 在x轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
要在拱门中设置高为 $\text{[math]}$ 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，点A、D在抛物线上，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上；方案二中，矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．现知，小华已正确求出方案二中，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
1. （1）求方案一中抛物线的函数表达式；
3. （2）在方案一中，当 $\text{[math]}$ 时，求矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 并比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小．
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1. (2024·潮南模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）．设该抛物线与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；
3. （2）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值；
5. （3）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一个动点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，记， $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的最大值及 $\text{[math]}$ 最大值时 $\text{[math]}$ 点的坐标．
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1. (2024八下·温州期中) 综合与实践：

如何改造儿童友好公园？
素材1	在一块长与宽之比为 $\text{[math]}$ 的长方形场地 $\text{[math]}$ 上，有两条宽度都为4米的通道（阴影部分）栽种花草（如图1）．剩余空地面积为场地 $\text{[math]}$ 面积的一半．
素材2	为了在该场地安装大型儿童游乐设施，需将场地改造为图2方案．已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，阴影部分区域栽种花草，长方形空地 $\text{[math]}$ 安装游乐设施．
问题解决
目标1	确定场地尺寸	求长方形 $\text{[math]}$ 的长和宽．
目标2	确定改造方案1	若剩余空地面积为场地 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正整数，请你设计一种方案： $\text{[math]}$ ________米， $\text{[math]}$ ________米．
目标2	确定改造方案2	若 $\text{[math]}$ 比 $\text{[math]}$ 大8米，求长方形空地 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

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1. (2024·绵阳模拟) 如图，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²+bx+c过点A（2，0）和B（3，3）.
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）点M在第二象限的抛物线上，且∠MBO＝∠ABO.
  ①直线BM交x轴于点N，求线段ON的长；
  
  ②延长BO交抛物线于点C，点P是平面内一点，连接PC、OP，当△POC∽△MOB时，请直接写出点P的坐标.
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1. (2024九下·苍梧模拟) 露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2， $\text{[math]}$ 款帐篷搭建时张开的宽度 $\text{[math]}$ ，顶部高度 $\text{[math]}$ ．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入 $\text{[math]}$ 款帐篷后的简易视图，椅子高度 $\text{[math]}$ ，宽度 $\text{[math]}$ ，若在帐篷内沿 $\text{[math]}$ 方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的椅子．设其拋物线型支架的形状值为 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

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1. (2024九下·钦州模拟) 问题探究
（1）如图1，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为边 $\text{[math]}$ 的中点，Q为边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
问题解决
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形 $\text{[math]}$ 休闲广场， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．按照规划要求，点P、Q分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，满足 $\text{[math]}$ 米，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为健身休闲区，其他区域为景观绿化区，为了使绿化面积尽可能大，希望健身休闲区的面积尽可能小，那么按此要求修建的这个健身休闲区（ $\text{[math]}$ ）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积及此时 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．

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1. (2024九下·汇川模拟) 下面的问题中有两个变量：
①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）

A . ①② B . ① C . ② D . ①②均不是

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1. (2024·贵州模拟) 某公司生产 $\text{[math]}$ 种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是 $\text{[math]}$ 万元，产品的年销售量将是原销售量的 $\text{[math]}$ 倍，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：
$\text{[math]}$ （万元）
0
0.5
1
1.5
2
…
$\text{[math]}$
1
1.275
1.5
1.675
1.8
…
1. （1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
3. （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润 $\text{[math]}$ （万元）与广告费用 $\text{[math]}$ （万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？
5. （3）如果公司希望年利润 $\text{[math]}$ （万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
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$\text{[math]}$ （万元）	0	0.5	1	1.5	2	…
$\text{[math]}$	1	1.275	1.5	1.675	1.8	…