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1. (2024·武汉模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
3. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E，连结 $\text{[math]}$ ．
  ①证明： $\text{[math]}$ ；
  ②证明： $\text{[math]}$ ．
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1. 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将它们叠合在一起，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ （如图 41-1 ①，此时线段 $\text{[math]}$ 的长是．现将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转（如图 41-1②，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，在旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的过程中，线段 $\text{[math]}$ 扫过的面积是

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1. (2024九下·汕头月考) 如图，在等边△ABC中，AB=6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是.

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1. (2024·老河口模拟) 四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形．
1. （1）如图1，当点F在BD上时，点E ， G分别在AB ， BC上．求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，将图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转（旋转角小于180°），连接DF ， CG ，判断DF与CG的数量关系，并写出证明过程；
5. （3）如图3，当（2）中的正方形BEFG旋转到点F落在线段CG上时，连接DE ．若点F是CG的中点，BE＝1，求DE的长．
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1. (2024九下·随州模拟) 【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．
1. （1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，正方形ABCD的边长是．
3. （2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN= $\text{[math]}$ ，，求证：M是CD的中点．
5. （3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是．
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1. (2024九下·长春月考) 如图1，点E为正方形ABCD内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 度（ $\text{[math]}$ ）点B、E的对应点分别为点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【感知】如图2，在旋转的过程中，点 $\text{[math]}$ 落在了AC上，求此时 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）【探究】若 $\text{[math]}$ ，如图3，得到 $\text{[math]}$ （此时 $\text{[math]}$ 与D重合），延长BE交 $\text{[math]}$ 于点F ，试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
5. （3）【应用】在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围．
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1. (2024·广东模拟) 在平面直角坐标系中，已知A $\text{[math]}$ ， B $\text{[math]}$ ，点P在x轴上，把 $\text{[math]}$ 绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，则点P的横坐标为．

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1. (2024八下·南海月考) 如图，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，若点D在线段BC的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·南海月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 后得到 $\text{[math]}$ ，则阴影部分的面积为（）

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 9

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1. (2024八下·南海月考) 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到 $\text{[math]}$ （点D ， E分别是点B ， C的对应点），旋转角为 $\text{[math]}$ ，设线段AD与BC相交于点M ，线段DE分别交BC ， AC于点O ， N ．
1. （1）特例分析：如图2，当旋转到 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；
3. （2）探究规律：如图3，在 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段DM始终等于线段CN ，请你证明这一结论；
5. （3）拓展延伸：①请求出当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时旋转角 $\text{[math]}$ 的度数；
  ②在图3中，作直线BD ， CE交于点P ，直接写出当 $\text{[math]}$ 时旋转角 $\text{[math]}$ 的度数．
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