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1. (2024·九江模拟) 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 $\text{[math]}$ .想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．
1. （1）【特例证明】
  如图1，将 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，两直角边分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①填空： $\text{[math]}$ ▲ ；
  ②求证： $\text{[math]}$ ．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明 $\text{[math]}$ ；也可过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
3. （2）【类比探究】
  如图2，将图1中的 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向平移，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示），并说明理由．
5. （3）【拓展运用】
  如图3，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·九江模拟) 如图，点D是 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 的上一点，且 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求证： $\text{[math]}$
3. （2）如果 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·九江模拟) 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 $\text{[math]}$ ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ， B ， $\text{[math]}$ 在同一水平线上， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为直角， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．测得 $\text{[math]}$ ，则树高 $\text{[math]}$ m．

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1. (2024·南昌模拟) 如图，在三角形ABD中，AD＝BD ， ∠ADB＝90°，AB//DC ，点E是AD上一点，作∠BEC＝45°，CE交DB于点F ．
1. （1）求证：△FBE~△FCD；
3. （2）求证：∠ABE＝∠DBC；
5. （3）已知AB＝6，ED＝2AE ，求S_△_BDC ．
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1. (2024·南昌模拟) 如图1，在矩形ABCD中，CD＝ $\text{[math]}$ BC＝4 $\text{[math]}$ ，点E ， G分别是AD ， AB上的中点，过点E ， G分别作EF⊥AD ， FG⊥AB ， FG与EF交于点F ，连接CF ．
1. （1）特例感知
  以下结论中正确的序号有；
  ①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以ED ， CF ， BG为边围成的三角形不是直角三角形类比发现
3. （2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG ，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；
5. （3）拓展应用
  连接CE ，当CE的长度最大时，
  ①求BG的长度；
  ②连接AC ， AF ， CF ，若在△ACF内存在一点P ，使CP＋AP＋ $\text{[math]}$ PF的值最小，求CP＋AP＋ $\text{[math]}$ PF的最小值．
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1. (2024·南昌模拟) 如图，已知△ABC和△ $\text{[math]}$ 以点C（－1，0）为位似中心，位似比为1∶2的位似图形，若点B的对应点 $\text{[math]}$ 的横坐标为a ，则点B的横坐标为．

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1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若 $\text{[math]}$ ，则△ADE与△ABC的面积之比为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. 如图，在△ABC中，AB<AC，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，则下列结论中错误的是（）

A . △AFE∽△DFC B . AD=AF C . DA平分∠BDE D . ∠CDF=∠BAD

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1. (2024·湖南模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E.若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为.

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1. (2024·昭通模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内接三角形， $\text{[math]}$ ，垂足为D，直径 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点F，连结 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）若点G为 $\text{[math]}$ 的中点，连结 $\text{[math]}$ ，若点O在 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值.
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