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1. (2024八下·武汉月考) 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离记作 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求 $\text{[math]}$ 间的距离．
如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，垂足分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
1. （1）由此得到平面直角坐标系内任意两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 间的距离公式为： $\text{[math]}$ ．
3. （2）直接应用平面内两点间距离公式计算点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离为．
5. （3）在平面直角坐标系中的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为x轴上任一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值：
7. （4）应用平面内两点间的距离公式，求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值（直接写出答案）．
9. （5）应用拓展：如图，若点D在 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长的最小值．
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1. (2024八下·青秀月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， AD，CE是 $\text{[math]}$ 的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于 $\text{[math]}$ 最小值的是（）

A . AC B . BC C . AD D . CE

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1. (2024八下·大化月考) 在信息技术迅猛发展的今天，很多同学都能够借助网络平台进行学习，在学习了平面直角坐标系后，小明同学在网上搜索到下面的文字材料：
在x轴上有两个点，它们的坐标分别为（a ， 0）和（c ， 0），则这两点所成线段的长为|a﹣c|；同样的，若在y轴上的两点坐标分别为（0，b）和（0，d），则这两点所成线段的长为|b﹣d|．
如图1，在直角坐标系中的任意两点P₁ ， P₂ ，其坐标分别是（a ， b）和（c ， d），分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边P₁Q＝|a﹣c|，PQ＝|b﹣d|，利用勾股定理可得，线段P₁P₂的长为 $\text{[math]}$ ．
根据上面材料，回答下面的问题：
1. （1）在平面直角坐标系中，已知A（7，﹣2），B（7，7），则线段AB的长为．
3. （2）在平面直角坐标系中，已知M（﹣4，3），N（8，﹣2），则线段MN的长为．
5. （3）若点C在y轴上，点D的坐标是（﹣3，1），且CD=5，则点C的坐标是．
7. （4）如图2，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的动点，且A、B、C三点不在同一直线上，求△ABC周长的最小值．
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1. (2024·恩施模拟) 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且与直线 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2） $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上一点， $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是以 $\text{[math]}$ 为边的菱形.若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
5. （3） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，过点 $\text{[math]}$ 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .探究 $\text{[math]}$ 是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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1. (2024八下·西安月考) 如图，等腰 $\text{[math]}$ 的底边 $\text{[math]}$ ，面积为48，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是腰 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值为．

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1. (2024八下·碑林月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为z直线 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值是.

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1. (2024九下·永州开学考) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形 $\text{[math]}$ 是边长为3的正方形，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 边分别交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 的面积为4，点P为y轴上一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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1. (2024八下·绥阳月考) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，边长为2，点E ， F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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1. (2024九下·路桥开学考) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
1. （1）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A₁B₁C₁；
3. （2）在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短，在图中作出P点的位置；（保留作图痕迹）
5. （3）若点B坐标为（-1，3），点B₁坐标为（5，3），则△ABC上一点P（a，b）的对应点P₁坐标表示为．
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1. (2024·广东模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
3. （2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，求点M的坐标；
5. （3） P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线 $\text{[math]}$ 上方，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D ，
  求 $\text{[math]}$ 的最大值；
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