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1. (2024·成都模拟) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点M ，点N分别在 $\text{[math]}$ 边和 $\text{[math]}$ 边上运动，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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1. (2024七下·光明月考) 【综合实践活动】
【问题背景】
小亮想测量他家门口水塘两个端点A ， B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．
【理论准备】
哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C ，连接 $\text{[math]}$ 并延长到D ，使 $\text{[math]}$ ；连接 $\text{[math]}$ 并延长到E ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明 $\text{[math]}$ 的长度等于水塘两个端点 $\text{[math]}$ 长度的原因；
【实际操作】
小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出 $\text{[math]}$ 长度（如图3），方法如下：
⑴在房屋M墙 $\text{[math]}$ 边找一点C ，使得 $\text{[math]}$ ；
⑵在院子里找一点E ，使得： $\text{[math]}$ 此时发现 $\text{[math]}$ ；
⑶测量出B到房屋M墙 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
⑷测量出A到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ，即：AE⊥CE ， $\text{[math]}$ ，同时发现 $\text{[math]}$ ；
经过以上的方法可以计算出 $\text{[math]}$ 的长度．
请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出 $\text{[math]}$ 的长度：
解：如图4，延长 $\text{[math]}$ 至F ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
……
1. （1）【成果迁移】
  如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西 $\text{[math]}$ 的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（ $\text{[math]}$ ），可疑船只沿北偏东 $\text{[math]}$ 的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D ， E处，且两船和指挥中心形成的夹角为 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离 $\text{[math]}$ ．
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1. (2024·荆州模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点， $\text{[math]}$ 的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
1. （1）在图①中画出一个 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， D为格点（点D不在点C处）：
3. （2）在图②中的边BC上找一点E ，连接AE ，使 $\text{[math]}$ ；
5. （3）在图③中的边BC上找一点F ，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．
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1. (2024八下·宜宾月考) 如图，已知直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴于点B、A两点， $\text{[math]}$ ， D、E分别为线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 的值最小时，则 $\text{[math]}$ 点的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·中江月考) 如图在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C ， D ， E三点在同一条直线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .以下四个结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中结论正确的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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1. (2024八下·榆树开学考) 如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向终点 $\text{[math]}$ 运动，设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ 的长为．
3. （2）连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
5. （3）连结 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值．
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024八下·路南开学考) 如图，已知在四边形ABCD内，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝.

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1. (2024八上·关岭期末) 周末，小明和小玮去公园玩，他们发现一个人工湖，喜欢思考的小明对小玮说：“老师说，我们要用数学的眼光看世界，那么，你能用我们学过的数学知识测量出湖的宽度（以最宽处计算）吗？”小玮观察了一下，给出了如下测量方案．

如图，首先在湖两岸相对的地方选取两点 $\text{[math]}$ 两点之间的距离就是湖的宽度．要测量湖两岸相对的 $\text{[math]}$ 两点间的距离，可以在湖外取 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ 上的两点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，再画出 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在同一条直线上．若想知道 $\text{[math]}$ 两点之间的距离，只需要测量出线段 $\text{[math]}$ 的长度即可．请你用学过的数学知识来说明小玮的做法是否正确．

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1. (2024八上·遵义期末) 某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
1. （1）求证：△ACB≌△BED；
3. （2）求两堵木墙之间的距离．
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1. (2024八上·开化期末) 如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（）

A . SSS B . SAS C . AAS D . ASA

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